Sätze WS10/11

Sätze

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Satz I.1

Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.

Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)

Es seien g und h zwei Geraden.

Wenn g und h mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind g und h identisch.

Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)

Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.

Satz I.5:

Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

Satz I.6:

Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Satz I.7:

Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

Satz II.1

Aus $ \operatorname {Zw} \left(A,B,C\right) $ folgt $ \operatorname {Zw} \left(C,B,A\right) $.

Satz II.2:

Aus $ \operatorname {Zw} \left(A,B,C\right) $ folgt $ \operatorname {koll} \left(A,B,C\right) $.

Satz II.3

Es sei $ \operatorname {koll} \left(A,B,C\right) $ mit $ \ A,B,C $ sind paarweise verschieden.
Dann gilt $ \operatorname {Zw} \left(A,B,C\right) $ oder $ \operatorname {Zw} \left(A,C,B\right) $ oder $ \operatorname {Zw} \left(B,A,C\right) $.

Satz II.4

Es sei $ \ O $ ein Punkt einer Geraden $ \ g $.
Die Teilmengen $ \ OA^{+}\setminus \left\{O\right\} $, $ \left\{O\right\} $ und $ \ OA^{-}\setminus \left\{O\right\} $ bilden eine Klasseneinteilung der Geraden $ \ g $.

Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke)

Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

Satz IV.1

Wenn $ \ Q_{2} $ ein Punkt der Halbebene $ \ {gQ_{1}}^{+} $ ist, dann gilt $ \ {gQ_{1}}^{+}\equiv \ {gQ_{2}}^{+} $ und $ \ {gQ_{1}}^{-}\equiv \ {gQ_{2}}^{-} $.

Satz IV.2

Halbebenen sind konvexe Punktmengen

Satz IV.3

Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.