Axiome WS10/11

Axiome

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• Inzidenzaxiome:

AXIOM I/0

Geraden sind Punktmengen.

AXIOM I/1 (Axiom von der Geraden)

Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

weitere Bezeichnungsmöglichkeit von Geraden

Eine Gerade g, die durch zwei verschiedene Punkte A und B eindeutig bestimmt ist wird auch mit AB bezeichnet.

AXIOM I/2

Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.

AXIOM I/3

Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.

Axiom I/4

Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

Axiom I/5

Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

Axiom I/6

Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

Axiom I/7

Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

• Abstandsaxiome:

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

Zu je zwei Punkten $ \ A $ und $ \ B $ gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl $ \ d $ mit $ d=0:\Longleftrightarrow A=B $.

Axiom II.2:

Für zwei beliebige Punkte $ \ A $ und $ \ B $ gilt $ \left|AB\right|=\left|BA\right| $.

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)

Für drei beliebige Punkte $ \ A,B $ und $ \ C $ gilt: $ \left|AB\right|+\left|BC\right|\geq \left|AC\right|. $

Falls $ \operatorname {koll} \left(ABC\right) $, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

$ \left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right| $

$ \left|AC\right|+\left|CB\right|=\left|AB\right| $

$ \left|BA\right|+\left|AC\right|=\left|BC\right| $

Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind $ \ A $, $ \ B $ und $ \ C $ kollinear.

Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)

Zu jeder nicht negativen reelen Zahl $ \ d $ gibt es auf jedem Strahl $ \ p $ genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von $ \ p $ den Abstand $ \ d $ hat.

Axiom III.2: (Das Axiom von Pasch)

Gegeben sei ein Dreieck $ {\overline {ABC}} $. Ferner sei $ \ g $ eine Gerade, die durch keinen der drei Eckpunkte $ \ A,B,C $ geht. Wenn $ \ g $ eine der drei Seiten des Dreiecks $ {\overline {ABC}} $ schneidet, dann schneidet $ \ g $ genau eine weitere Seite des Dreiecks $ {\overline {ABC}} $.