Definitionen WS10/11

Definitionen

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Definition: (n-stellige Relation)

Es seien $M_1,M_2,M_3,...,M_{n}n$ Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus $M_1\times M_2\times M_3...\times M_n$ ist eine $n-$stellige Relation.

Definition: (Klasseneinteilung eine Menge)

Es sei $M$ eine Menge und $K=\{T_1,T_2,T_3,...,T_n,...\}$ eine Menge von Teilmengen von $M$.

$K$ ist eine Klasseneinteilung von $M$, wenn

1. notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
2. notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
3. notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge $M$.

Mengen sind disjukt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

Definition I/2: (kollinear)

Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.

Schreibweise kolinear: koll(A, B, C, ...)

Schreibweise nicht kollinear: nkoll(A, B, C)

Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)

Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.

Definition: (Parallelität von Geraden)

Zwei Geraden sind paralle, wenn sie in derselben Ebene liegen und entweder keinen oder alle Punkte gemeinsam haben.

Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)

Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.

Definition I/5: (Raum)

Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

Definition I/6: (komplanar)

Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...) (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

Definition I/7: (komplanar für Geraden)

Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.

Schreibweise: komp(g, h)

Definition I/8: (Geradenparallelität)

Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.

In Zeichen: g||h.

Definition I/9: (windschief )

Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

Definition I/10: (parallel für Ebenen)

Zwei Ebene E1 und E2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

Definition II.1: (Abstand)

Der Abstand zweier Punkte $A$ und $B$ ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten $A$ und $B$ zugeordnet werden kann.
Schreibweise: $d=\left|AB\right|$.

Definition II.2: (Zwischenrelation)

Ein Punkt $B$ liegt zwischen zwei Punkten $A$ und $C$, wenn $\left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right|$ gilt und der Punkt $B$ sowohl von $A$ als auch von $C$ verschieden ist.

Schreibweise: $\mathrm{Zw}(A,B,C)$

Definition II.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

Es seien $A$ und $B$ zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die $A$ und $B$ sowie alle Punkte, die zwischen $A$ und $B$ liegen, enthält, heißt Strecke $\overline{AB}$.

Definition II.4: (Länge einer Strecke)

Es seien $A$ und $B$ zwei verschiedene Punkte. Der Abstand $|AB|$ heißt Länge der Strecke $\overline{AB}$.

Definition II.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)

Definition: Halbgerade $A{B}^{+}$

$A{B}^{+}:=\{P\mid \mathrm{Zw}(A,P,B)\vee \mathrm{Zw}(A,B,P)\}\cup \{A,B\}$

Definition: Halbgerade $A{B}^{-}$

$A{B}^{-}:=\{P|Zw(P,A,B)\}\cup \left\{A\right\}$

Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)

Wenn ein Punkt $M$ der Strecke $\overline{AB}$ zu den Endpunkten $A$ und $B$ jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$.

Definition IV.1: (offene Halbebene)

Es sei $\mathrm{E}$ eine Ebene in der die Gerade $g$ liegen möge. Ferner sei $Q$ ein Punkt der Ebene $\mathrm{E}$, der nicht zur Geraden $g$ gehört.
Unter den offenen Halbebenen $g{Q}^{+}$ und $g{Q}^{-}$ bezüglich der Trägergeraden $g$ versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene $\mathrm{E}$ ohne die Gerade $g$ :

$g{Q}^{+}:=\{P|\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }S\{S\}=g\cap \overline{PQ}\}$

$g{Q}^{-}:=\{P|\mathrm{\exists }S\{S\}=g\cap \overline{PQ}\}\setminus \{g\}$

Definition IV.2: (Halbebene)

Es sei $g$ eine Gerade der Ebene $\mathrm{E}$. $g{Q}^{+}$ und $g{Q}^{-}$ seien die beiden offenen Halbebenen von $\mathrm{E}$ bezüglich $g$. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von $\mathrm{E}$ bezüglich $g$ versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von $\mathrm{E}$ bezüglich der Geraden $g$ mit jeweils dieser Geraden $g$ entstehen.

$g{Q}^{+}:=\{P|\mathrm{\neg }\mathrm{\exists }S\{S\}=g\cap \overline{PQ}\}\cup \{g\}$

$g{Q}^{-}:=\{P|\mathrm{\exists }S\{S\}=g\cap \overline{PQ}\}$

Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)

Eine Menge $M$ von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten $A$ und $B$ dieser Menge die gesamte Strecke $\overline{AB}$ zu $M$ gehört.