Lösung von Aufg. 7.4

Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.

Vor: Ebene $ϵ$
, nkomp(A,B,C,D) Beh: $ϵ$ enthält weinigstens drei paarweise verschiedene Punkte

Fall 1:
3 der vier Punkte liegen in der Ebene $ϵ$$\to$ trivial

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Fall 2:
2 der vier Punkte liegen in der Ebene $ϵ$
$A\in ϵ$ ,$B\in ϵ$
1) $A\in ϵ$ , $B\in ϵ$, $C\notin ϵ$ und $D\notin ϵ$
2)$\mathrm{nkoll}\left(ABC\right)$ $\to$ ${\delta }_1$ ________Lemma 3 und Axiom I/4
3)$D\notin {\delta }_1$__________________wegen nkomp(A,B,C,D)
4)$\mathrm{nkoll}\left(BCD\right)$ $\to$ ${\delta }_2$___________3)
5)$A\notin {\delta }_2$________________wegen nkomp(A,B,C,D)
6)$A\in {\delta }_2$ und $B\in ϵ$____________2) und 4)
7)$\mathrm{\exists }P$,$P\in ϵ$,$A\in {\delta }_2$________6) und Axiom I/6

bleibt zu zeigen : $A\equiv ̸P$ ${\delta }_1$: $P\in {\delta }_1$, $B\in {\delta }_1$, $C\in {\delta }_1$
${\delta }_2$: $P\in {\delta }_2$, $C\in {\delta }_2$, $B\in {\delta }_2$
daraus folgt $delt{a}_1\equiv delt{a}_2$ $\to$ komp(A,B,C,D)
8) Widerspruch zur Vorraussetzung nkomp(A,B,C,D)

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