Lösung von Aufgabe 3.5 (SoSe11)

Der Begriff Mittelsenkrechte sei folgendermaßen definiert:
Die Mittelsenkrechte einer Strecke $\overline{AB}$ ist die Gerade g, die durch den Mittelpunkt von $\overline{AB}$ verläuft und zu dieser Strecke $\overline{AB}$ senkrecht steht.
Beweisen Sie folgenden Satz:
Die Mittelsenkrechte m einer beliebigen Strecke $\overline{AB}$ ist die Menge aller Punkte P, die von A und B denselben Abstand haben:
(Beachten Sie, dass auch dieser Beweis wieder aus zwei Teilen besteht analog zur Aufgabe 3.4).

Lösung: Schritt 1 Zu zeigen: Jeder Punkt auf der Geraden g hat den gleichen Abstand zu A und B. Man bestimmt einen beliebigen Punkt P auf der Geraden g. Konstruiert man nun die Verbindungsstrecken $\overline{PA}$ und $\overline{PB}$, so erhält man zwei Dreiecke $\overline{APM}$ und $\overline{MPB}$ (M sei der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$). Diese beiden Dreiecke sind laut dem Kongruenzsatz SWS kongruent, da $\overline{MA}$ = $\overline{MB}$ (laut Definition) und $\overline{MP}$ = $\overline{MP}$ und beide einen kongruenten rechten Winkel haben. Daraus ergibt sich, dass $\overline{PA}$ = $\overline{PB}$ sein muss.

Schritt 2 Zu zeigen: Jeder Punkt mit dem gleichen Abstand zu A und B liegt auf der Mittelsenkrechten g. Um einen beliebigen Punkt mit dem gleichen Abstand zu A und B zu konstruieren, zeichnet man Kreise mit den Mittelpunkten A und B und dem gleichen Radius r. Der Schnittpunkt der beiden Kreislinien ergibt mit den Punkten A, B und M widerrum zwei zueinander kongruente Dreiecke, da $\overline{AP}$ = $\overline{BP}$ und $\overline{MP}$ = $\overline{MP}$. Da beide Dreiecke auch einen kongruenten Winkel haben, müssen sie auf der Geraden g liegen, damit gilt: $\overline{AM}$ = $\overline{BM}$. --matthias 13:23, 27. Apr. 2011 (CEST)