Lösung von Aufgabe 6.5 (SoSe 11)

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation $\mathrm{\Theta }$ ($\mathrm{\Theta }$ ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge $E\setminus g$ (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige $A,B\in E\setminus g$ gilt: $A\mathrm{\Theta }B:\iff \overline{AB}\cap g=\{\}$.
a) Beschreiben Sie die Relation $\mathrm{\Theta }$ verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.
b) Begründen Sie anschaulich, dass $\mathrm{\Theta }$ eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation $\mathrm{\Theta }$ bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.

a) Die Relation $\mathrm{\Theta }$ besagt, dass dann die Strecke AB parallel zur Gerade g ist. Denn nur dann hat die Strecke AB mit g eine leere Schnittmenge. Das heißt, der Abstand A zu g ist gleich groß wie der Abstand von B zu g.

b) $\mathrm{\Theta }$ ist eine Äquivalenzrelation denn:

Reflexivität: Ein Punkt A hat zur gerade g den gleichen Abstand wie ein Punkt A Symmetrie: Hat A und B zu g den gleichen Abstand, dann auch B und A zu g. Transitivität: Wenn A und B zu g den gleichen Abstand haben und B und C zu g den gleichen Abstand haben, dann auch A zu C. Denn A,B,C müssen alle auf einer Gerade liegen, die parallel zu g liegt.

--Madita 15:24, 19. Mai 2011 (CEST)