Lösung von Aufg. 8.1 (SoSe 11): Unterschied zwischen den Versionen

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Beweisen Sie: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.
Beweisen Sie: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.


Voraussetzung: Ebene E und eine Gerade g, die nicht (vollständig) in E liegt <br />
Behauptung: <math>\ E \cap g \ =  \ \lbrace \rbrace  \wedge  \lbrace S\rbrace</math>
<br />
Beweis in zwei Schritten:


Fall 1: E und g haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt: Dieser Fall ist trivial, genau dann wenn, g nicht mit E inzidiert und somit Parallel zur Ebenen e verläuft
<br />
Fall 2:  <math>\ E \cap g \ =  \ \lbrace S\rbrace</math>
Beweis durch Widerspruch:
Annahme: <math>\ E \cap g \ =  \ \lbrace S; P\rbrace</math>
{| class="wikitable"
|-
| 1) S <math>\in</math> E|| Annahme
|-
| 2) P <math>\in</math> E || Annahme
|-
| 3) g liegt vollständig in E || Axiom I.5, (1), (2)
|-
| 4) Widerspruch zur Voraussetzung, Annahme ist zu verwerfen || (3), Voraussetzung
|}
--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 23:07, 31. Mai 2011 (CEST)


[[Category:Einführung_Geometrie]]
[[Category:Einführung_Geometrie]]

Version vom 31. Mai 2011, 21:07 Uhr

Beweisen Sie: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Voraussetzung: Ebene E und eine Gerade g, die nicht (vollständig) in E liegt
Behauptung:  E∩g = {}∧{S}
Beweis in zwei Schritten:

Fall 1: E und g haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt: Dieser Fall ist trivial, genau dann wenn, g nicht mit E inzidiert und somit Parallel zur Ebenen e verläuft
Fall 2:  E∩g = {S} Beweis durch Widerspruch: Annahme:  E∩g = {S;P}


1) S ∈ E Annahme
2) P ∈ E Annahme
3) g liegt vollständig in E Axiom I.5, (1), (2)
4) Widerspruch zur Voraussetzung, Annahme ist zu verwerfen (3), Voraussetzung

--Flo60 23:07, 31. Mai 2011 (CEST)

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