Lösung von Aufg. 11.4 (SoSe 11)

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Ferner sei eine Gerade g Teilmenge der Ebene E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:

$\overline{AB}\cap g\ne \{\}\wedge \overline{BC}\cap g=\{\}\Rightarrow \overline{AC}\cap g\ne \{\}$
<br\><br\> Beweis: durch Widerspruch:<br\>

o.B.d.A. gelte $\mathrm{(}Zw)(A,B,C)$$\Rightarrow \overline{AB}\subset \overline{AC}$ <br\>

Voraussetztung:$\overline{AB}\cap g\ne \{\}\wedge \overline{BC}\cap g=\{\}$<br\> Annahme: $\overline{AC}\cap g=\{\}$ <br\> da$\overline{AC}\cap g=\{\}\Rightarrow \mathrm{\forall }Pϵ\overline{AC}:P\in ̸g$
$\Rightarrow \mathrm{\forall }P\in \overline{AB}:P\in ̸g\Rightarrow Widerspruch$ zu $\overline{AB}\cap g\ne \{\}$<br\> $\Rightarrow$ $\overline{AB}\cap g\ne \{\}\wedge \overline{BC}\cap g=\{\}\Rightarrow \overline{AC}\cap g\ne \{\}$