Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende (SoSe 11)

Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

Mittelsenkrechte

Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt: eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.

Definition VI.1: (Mittelsenkrechte)

Es sei $m$ eine Gerade und $\overline{AB}$ eine Strecke, die durch $m$ im Punkt $M$ geschnitten wird. $m$ ist die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$, wenn

1. $m\perp AB$
2. $\left|AM\right|=\left|MB\right|$

Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten)

Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

Beweis von Satz VI.1

Es sei $\overline{AB}$ eine Strecke, die vollständig zur Ebene $\mathrm{E}$ gehören möge.

Behauptungen:

1. Es gibt in $\mathrm{E}$ Gerade $m$, die die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$ ist.
2. Es gibt in $\mathrm{E}$ nicht mehr als eine Gerade $m$, die die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$ ist.

Beweis der Existenzbehauptung:

Aus Gründen der effizienten Bezeichnung führen wir den Punkt $Q$ ein, der zur Ebene $\mathrm{E}$ aber nicht zur Geraden $AB$ gehören möge.

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(i)	$\mathrm{\exists }M\in \overline{AB}:|AM|=|MB|$	Existenz des Mittelpunktes M
(ii)	$\mathrm{\exists }P\in AB,Q^{+}:|\mathrm{\angle }PMB|=90$	Vor., (i), Winkelkonstruktionsaxiom
(iii)	$PM$ ist Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$	(i), (ii), Def. Mittelsenkrechte (erarbeitet in Vorlesung--Schnirch 15:04, 27. Jun. 2011 (CEST))

Bemerkung: Ihnen fällt sicherlich auf, dass wir nach dem Beweis von Satz V.5 die Existenz der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ gar nicht so ausführlich hätten führen müssen. Der Beweis von Satz V.5 steht momentan jedoch noch als Übungsaufgabe aus.

Beweis der Eindeutigkeitsbehauptung

Die Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke wurde bereits bewiesen (Satz III.1). Die Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt einer Geraden zu dieser Geraden wird/wurde mit Satz V.5 bewiesen.

Winkelhalbierende

Ein Winkel ist ein Paar von Halbgeraden, die einen gemeinsamen Anfangspunkt haben. Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei Teilwinkel, die jeweils dieselbe Größe haben. Die Teilwinkel werden dadurch gebildet, dass jeder Schenkel des ursprünglichen Winkels jeweils mit der Winkelhalbierenden zu einem neuen Winkel zusammengefasst wird. Es ist also sinnvoll, die Winkelhalbierende eines Winkels als eine besondere Halbgerade zu definieren.

Definition VI.2

Es seien $p$,$w$ und $q$ drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt $S$. Die Halbgerade $w$ ist die Winkelhalbierende des Winkels $\mathrm{\angle }pq$, wenn $w$ im Inneren von $\mathrm{\angle }pq$ liegt und die beiden Winkel $\mathrm{\angle }pw$ und $\mathrm{\angle }wq$ dieselbe Größe haben.

Satz VI.$1\frac{1}{2}$

Es sei $S{W}^{+}$ die Winkelhalbierende des Winkels $\mathrm{\angle }ASB$. Dann gilt $|\mathrm{\angle }ASW|=|\mathrm{\angle }WSB|=\frac{1}{2}|\mathrm{\angle }ASB|$.

Beweis von Satz VI.$1\frac{1}{2}$

Übungsaufgabe

Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)

Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.

Beweis von Satz VI.2

Übungsaufgabe