Lösung von Aufg. 12.3 SS11: Unterschied zwischen den Versionen

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::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.
::Wenn ein Punkt <math>\ P</math> zu den Endpunkten der Strecke <math>\overline{AB}</math> jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von <math>\overline{AB}</math>.
<br>
<math> \ Beweis: </math><br>
<math> \ V: \overline{AP} \equiv \overline{BP}</math> <br>
<math>\ B: \ P\in \ m \ mit \ m  \ ist \ Mittelsenkrechte \ von \  \overline{AB}</math>
<math> \ Sei  \ m \ Mittelpunkt \ von \ \overline{AB}\ ( \ n. \ Existenz \ vom \ Mittelpunkt \ einer \ Strecke)</math><br>
<math> \ Betrachte \ die \ beiden \ Dreieck \  \overline{AMP}\ und\ \overline{MPB} </math> <br>
<math> \ Es \ gilt \ : \ \overline{AP} \equiv \overline{BP}\  nach \ Voraussetzung\ </math>  <br>
<math>\ Ferner\  \angle PMA \equiv \angle PBM \ nach \ Basiswinkelsatz</math><br>
<math>\ und \ \overline{AM} \equiv \overline{MB} \ da \ M \ Mittelpunkt\ ist.</math><br>
<math>\Rightarrow \ nach \ SWS \ die \ Kongruenz \ der \ beiden \ Dreiecke</math><br>
<math>\Rightarrow \angle PMA\equiv \angle BMP\Rightarrow \ es \ sind \ rechte \ Winkel \Rightarrow \ PM \ ist  \ Mittelsenkrechte</math><br><math>\Rightarrow \ Behauptung</math>--[[Benutzer:Peterpummel|Peterpummel]] 17:47, 3. Jul. 2011 (CEST)

Version vom 3. Juli 2011, 15:47 Uhr

Beweisen Sie Satz VII.6 a:

Wenn ein Punkt  P zu den Endpunkten der Strecke AB‾ jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von AB‾.


 Beweis:

 V:AP‾≡BP‾
 B: P∈ m mit m ist Mittelsenkrechte von AB‾

 Sei m Mittelpunkt von AB‾ ( n. Existenz vom Mittelpunkt einer Strecke)
 Betrachte die beiden Dreieck AMP‾ und MPB‾
 Es gilt : AP‾≡BP‾ nach Voraussetzung 
 Ferner ∠PMA≡∠PBM nach Basiswinkelsatz
 und AM‾≡MB‾ da M Mittelpunkt ist.
⇒ nach SWS die Kongruenz der beiden Dreiecke
⇒∠PMA≡∠BMP⇒ es sind rechte Winkel⇒ PM ist Mittelsenkrechte
⇒ Behauptung--Peterpummel 17:47, 3. Jul. 2011 (CEST)

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