Lösung von Aufg. 12.3 SS11

Beweisen Sie Satz VII.6 a:

Wenn ein Punkt $P$ zu den Endpunkten der Strecke $\overline{AB}$ jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$.

$Beweis:$

$V:\overline{AP}\equiv \overline{BP}$
$B:P\in mmitmistMittelsenkrechtevon\overline{AB}$

$SeimMittelpunktvon\overline{AB}(n.ExistenzvomMittelpunkteinerStrecke)$
$BetrachtediebeidenDreieck\overline{AMP}und\overline{MPB}$
$Esgilt:\overline{AP}\equiv \overline{BP}nachVoraussetzung$
$Ferner\mathrm{\angle }PMA\equiv \mathrm{\angle }PBMnachBasiswinkelsatz$
$und\overline{AM}\equiv \overline{MB}daMMittelpunktist.$
$\Rightarrow nachSWSdieKongruenzderbeidenDreiecke$
$\Rightarrow \mathrm{\angle }PMA\equiv \mathrm{\angle }BMP\Rightarrow essindrechteWinkel\Rightarrow PMistMittelsenkrechte$
$\Rightarrow Behauptung$--Peterpummel 17:47, 3. Jul. 2011 (CEST)

$Vor:PunktP,Strecke\overline{AB},Mittelsenkrechtemvon\overline{AB}$
$|PA|=|PB|$
$Beh:P\in m$

Man muss in zwei Fälle unterscheiden:
$1.Fall:P\ne M$
$2.Fall:P=M$

$1.Fall:P\ne M$
$1)\mathrm{△}\overline{ABP}istgleichschenklig(Vor,Def.gleichschenkliges\mathrm{△})$
$2)\mathrm{\exists }Winkelhalbierendewdes\mathrm{\angle }APB(ExistenzundEindeutigkeitderWinkelhalbierenden)$
$3)wteilt\mathrm{\angle }APBiny1undy2,y1=y2(Def.Winkelhalbierende)$
$4)w\cap \overline{AB}=P2(Lemma1)$
$5)|PA|=|PB|(Vor.)$
$6)y1=y2(3)$
$7)\mathrm{\angle }PAB\cong \mathrm{\angle }PBA(1,Basiswinkelsatz)$
$8)\mathrm{△}APP2\cong \mathrm{△}BPP2(SWS,5,6,7)$
$9)\mathrm{\angle }|AP2P|=\mathrm{\angle }|BP2P|=90$ (8, Def. Nebenwinkel, Supplementaxiom)
$10)|\overline{AP2}|=|\overline{BP2}$ (8)
$11)P2=M,w=m$ (10, Def. Mittelpunkt, 9, Def. Mittelsenkrechte)
$12)P\in m$ (9, 10, 11)

$2.Fall:P=M$
$1)|PA|=|MA||Pm|=|M|$ (Annahme 2. Fall)
$2)PistMittelpunktvon\overline{AB}$ (Def. Mittelpunkt, 1)
$3)P\in m$ (2, Def. Mittelsenkrechte)