Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes (SoSe 11)

Stufenwinkel, Wechselwinkel, entgegengesetzt liegende Winkel

In welchen Fällen handelt es sich um....

Stufenwinkel

Wechselwinkel

entgegengesetzt liegende Winkel?

Definition X.1: (Stufenwinkel)

(ergänzen Sie)

Definition X.2: (Wechselwinkel)

(ergänzen Sie)

Definition X.3: (entgegengesetzt liegende Winkel)

(ergänzen Sie)
Zwei Winkel $\mathrm{\angle }p,q$ und $\mathrm{\angle }r,s$ sind entgegengesetzt liegende Winkel, wenn der Stufenwinkel des Winkels $\mathrm{\angle }p,q$ und der Winkel Nebenwinkel sind. --Teufelchen 20:39, 12. Jul. 2011 (CEST)

Die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes

Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes)

Es seien $a$ und $b$ zwei nicht identische Geraden, die durch eine dritte Gerade $c$ jeweils geschnitten werden. Es seien ferner $\alpha$ und $\beta$ zwei Stufenwinkel, die bei dem Schnitt von $c$ mit $a$ und $b$ entstehen mögen.

Wenn die beiden Stufenwinkel $\alpha$ und $\beta$ kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden $a$ und $b$ parallel zueinander.

Beweis von Satz X.1: (Umkehrung des Stufenwinkelsatzes)

Es seien $a,b$ und $c$ drei paarweise nicht identische Geraden. Die Gerade $c$ möge $a$ in dem Punkt$A$ und die Gerade $b$ in dem Punkt $B$ schneiden. $\alpha$ und $\beta$ sei ein Paar von Stufenwinkeln, welches bei dem Schnitt von $a$ und $b$ mit $c$ entstehen möge.

Voraussetzung:

(i) $\alpha \cong \beta$

Behauptung:

$a\Vert b$

Annahme:

$a\Vert b$

Den Rest können Sie selbst!