Tangentenkriterium

Tangentenkriterium

Kriterium: (Tangete am Kreis)

Eine Gerade t, die durch einen Punkt A eines Kreises k mit dem Mittelpunkt M verläuft, ist genau dann Tangente an k, wenn t senkrecht auf MA steht.

Satz 1: (Tangete am Kreis)

$t\cap k=\{A\}\Rightarrow MA\perp t$

Beweis durch Wiederspruch:
Voraussetzung: $t\cap k=\{A\}$
Behauptung: $MA\perp t$

Annahme: $MA\perp ̸t$

1	Es existiert ein Lot von M auf t, dieses ist eindeutig. Der Lotfußpunkt auf k heiße B.	Ex. und Eindeutigkeit Lot, Annahme, Voraussetzung
2	CB| = |BA|	Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom, Definition zwischenrelation, Voraussetzung, (1) und Skizze
3	$|\mathrm{\angle }MBA|=|\mathrm{\angle }MBC|=90$	nach Konstruktion, Def. NW, Def. supplementär, Supplementaxiom, Def. Lot (1)
4	$\overline{MBA}\cong \overline{MBC}$	MB| = |MB|
5	MC| = |MA| = r nach Voraussetzung und es ergeben sich zwei Schnittpunkte, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.

Satz 2: (Tangente am Kreis)

$MA\perp t\wedge k\cap t=\{A\}\Rightarrow$ t ist Tangente an k.

Eigentlich erscheint dieser Beweis komisch. Allerdings könnte es ja sein, dass wenn eine Gerade durch eben einen Punkt A verläuft und senkrecht auf dem Berührradius steht, dass dann trotzdem ein zweiter Schnittpunkt vorhanden ist mit k und dann wäre halt t keine Tangente mehr.

Voraussetzung: $MA\perp t\wedge k\cap t=\{A\}$
Behauptung: t ist Tangente an k
Annahme: Es ex. ein Punkt S: $S\ne A\wedge t\cap k=\{S\}$

Ich versuche diesen Beweis bewusst in der absoluten Geometrie zu Beweisen. Mit der Innenwinklesumme wäre es natürlich noch einfacher, aber zwecks der Übung.

1	$\left|MA\right|=\left|MS\right|$	Annahme, Definiton Kreis und Radius
2	$|\mathrm{\angle }MAS|=|\mathrm{\angle }MSA|=90$	Voraussetzung, Basiswinkelsatz, (1), Def. Senkrecht
3	Demnach sind im Dreieck zwei Winkel nicht spitz, was ein Widerspruch zu einem der Korollare ist. Demnach ist die Annahme zu verwerfen.	Korollar des schwachen Außenwinkelsatzes, (2), Definition Dreieck

--Flo60 10:53, 24. Jul. 2011 (CEST)