Lösung von Aufgabe 3.3 (WS 11/12)

Wir gehen von folgender Definition aus:
Eine Winkelhalbierende eines Winkels $\mathrm{\angle }(p,q)$ ist ein Strahl l, der im Inneren des Winkels $\mathrm{\angle }(p,q)$ liegt, den Scheitel des Winkels $\mathrm{\angle }(p,q)$ als Anfangspunkt besitzt und diesen Winkel in zwei gleich große Winkel $\mathrm{\angle }(p,l)$ und $\mathrm{\angle }(l,q)$ unterteilt.
Außerdem sei folgende genetische Definition gegeben:

• Gegeben sei ein Winkel $\mathrm{\angle }(p,q)$.
• Man konstruiere auf den beiden Schenkeln des Winkels $\mathrm{\angle }(p,q)$ zwei Punkte P und Q, die vom Scheitel S des Winkels $\mathrm{\angle }(p,q)$ gleich weit entfernt sind.
• Man konstruiere die Strecke $\overline{PQ}$.
• Man konstruiere den Mittelpunkt M der Strecke $\overline{PQ}$.
• Man konstruiere den Strahl w mit dem Anfangspunkt S, der durch den Punkt M verläuft.
• Dieser Strahl w ist die Winkelhalbierende.
  
  

Beweisen Sie, dass durch diese Konstruktionsvorschrift tatsächlich die Winkelhalbierende entsprechend der angegebenen Definition entsteht.

• Wenn man die Konstruktionsvorschrift befolgt und eine Winkelhalbierende erhält, ist die Konstruktionsvorschrift dann bewiesen?

--Todah raba 18:06, 28. Okt. 2011 (CEST)

Beweisschritt	Begründung
(1) $\overline{SP}$ = $\overline{SQ}$	Voraussetzung
(2) $\overline{PM}$ = $\overline{QM}$	Konstruktionsvorschrift
(3) $\overline{SM}$ = $\overline{SM}$	Konstruktionsvorschrift
(4) $\mathrm{△}SPM\widetilde{=}\mathrm{△}SQM$	SSS,(1),(2),(3)
(5) $\mathrm{\angle }PSM\widetilde{=}\mathrm{\angle }QSM$	(4)

--Mathenerds 10:40, 29. Okt. 2011 (CEST)

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Voraussetzungen:

$\overline{SP}\widetilde{=}\overline{SQ}$

$\overline{QP}=c$

$\overline{QM}=\overline{PM}$

$\overline{QM}=c1$

$\overline{PM}=c2$

$c1+c2=c$

Behauptung:

$\mathrm{\angle }l,p=\mathrm{\angle }l,q$

Beweis:

$\overline{SP}=\overline{SQ}\wedge \mathrm{\angle }p,q\Rightarrow \mathrm{\angle }sc,p=\mathrm{\angle }c,q$ SWS Dreiecksatz berachtes Dreick: S,P,Q

$\overline{MS}=\overline{MS}\wedge \overline{SP}=\overline{SQ}\wedge \overline{MP}=\overline{MQ}\Rightarrow \mathrm{\angle }s,p=\mathrm{\angle }s,q$ SSS Dreiecksatz betrachtete Dreicke S,M,P und S,Q,P

Somit muss die Halbgerade l die Winkelschneidende sein.--RicRic