Lösung von Aufgabe 3.5 (WS 11/12)

Der Begriff Mittelsenkrechte sei folgendermaßen definiert:
Die Mittelsenkrechte einer Strecke $\overline{AB}$ ist die Gerade g, die durch den Mittelpunkt von $\overline{AB}$ verläuft und zu dieser Strecke $\overline{AB}$ senkrecht steht.
Beweisen Sie folgenden Satz:
Die Mittelsenkrechte m einer beliebigen Strecke $\overline{AB}$ ist die Menge aller Punkte P, die von A und B denselben Abstand haben:
(Beachten Sie, dass auch dieser Beweis wieder aus zwei Teilen besteht analog zur Aufgabe 3.4).

Voraussetzungen:

$\overline{AB}=\overline{AC}+\overline{CB}$ der Mittelpunkt der Strecke AB ist der Punkt C

$\mathrm{\angle }m,\overline{CA}=\mathrm{\angle }m,\overline{CB}=90$° m ist die Mittelsenkrechte; D ein exemplarisch verwendeter Punkt auf m

Behauptung:

$m=\left\{\mathrm{\forall }P:\left|PA\right|=\left|PB\right|\right\}$ Alle Punke mit der Eigenschaft, dass der Abstand zu A und B gleich ist, bilden die Mittelsenkrechte

Beweis:

$\left|AC\right|=\left|BC\right|\wedge \left|CD\right|=\left|CD\right|\wedge \mathrm{\angle }m,\overline{CA}=\mathrm{\angle }m,\overline{CB}\Rightarrow \left|AD\right|=\left|BD\right|$ SsW Die dreiecke sind konguent, somit muss auch der Abstand identisch sein. Somit liegt D auf m

Annahme:

$\mathrm{\exists }P\in ̸m\wedge \left|AP\right|=\left|BP\right|$

Beweis Teil 2:

$P\in ̸m\wedge \left|AP\right|=\left|BP\right|\Rightarrow \overline{PM}\ne m$ Es muss dan also eine Gerade geben welche die Punke P und M schneidet jedoch nicht die Mittelsenkrechte ist, sonst wäre ja P Element m

$\mathrm{\angle }\overline{PM},\overline{AC}\ne \mathrm{\angle }\overline{PM},\overline{BC}$ Da es dich nicht um die Mittelsenkrechte handelt, müssen die Winkel auch unterschiedlich sein.

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\lightning“): {\displaystyle \overline{MP} =\overline{MP} \wedge \left| AP \right|= \left| PB \right| \wedge \overline{AC} = \overline{BC} \Rightarrow \angle \overline{PM},\overline{AC} = \angle \overline{PM},\overline{BC}\lightning} SSS - Wenn die drei Seiten des Dreiecks konguent sind müssen die Winkel es auch sein. Also muss P Element m sein. --RicRic