Lösung von Aufgabe 5.5 (WS 11/12)

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation $\mathrm{\Theta }$ ($\mathrm{\Theta }$ ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge $E\setminus g$ (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige $A,B\in E\setminus g$ gilt: $A\mathrm{\Theta }B:\iff \overline{AB}\cap g=\{\}$.
a) Beschreiben Sie die Relation $\mathrm{\Theta }$ verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.
b) Begründen Sie anschaulich, dass $\mathrm{\Theta }$ eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation $\mathrm{\Theta }$ bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.

a) parallel
b) Die Relation hat folgende Eigenschaften:

• ist reflexiv: $\overline{AB}||\overline{AB}$
  
• ist symmetrisch: $\overline{AB}||g\Rightarrow g||\overline{AB}$
  
• ist transitiv: $\overline{AB}||g\wedge g||h\Rightarrow \overline{AB}||h$
  

Also ist es eine Äquivalenzrelation. --Todah raba 17:02, 13. Nov. 2011 (CET)