Lösung von Aufg. 6.4 (WS 11/12)

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

1. Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien $A$, $B$ und $C$ drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn $A$,$B$ und $C$ … , dann … .“
2. Beweisen Sie Satz I indirekt.
3. Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
4. Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
5. Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
6. Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

zu 1. Wenn A,B,C nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden.
zu 2. Behauptung: A ungleich B ungleich C
Annahme: o.B.d.A. A = B
Beiweis:

Schritt	Begründung
$\mathrm{\exists }AB,BC,AC$	Vorraussetzung A,B,C koll Axiom I1
BC=AC	Annahme A=B
AB=A=B	Annahme
koll(A,B,C)	Wiederspruch zur Voraussetzung, daraus folgt die Punke müssen paarweise verschieden sein.

zu 3. Wenn A,B,C nicht paarweise verschieden, dann sind sie Kollinear.
zu 4. Voraussetzung Es seien drei Punkte A,B,C und o.B.d.A A=B
Behauptung: koll (A,B,C) Beweis:

Schritt	Begründung
$\mathrm{\exists }AB,BC,AC$	Axiom I/1
BC=AC	Voraussetzung A=B
AB=A=B	Voraussetzung
koil(A,B,C)	Axiom I/1

zu 5. Drei paarweise verschiedene Punkte sind nicht kollinar
zu 6. Nein, da auch Punkte existieren, welche koll sind und paarweise verschieden.--LGDo12 13:07, 17. Nov. 2011 (CET)