Lösung von Aufg. 8.1 (WS 11/12)

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke $\overline{AB}$ existiert genau eine Strecke $\overline{A{B}^{*}}$ mit $\left|A{B}^{*}\right|=\pi \left|AB\right|$ und $\overline{AB}\subset \overline{A{B}^{*}}$.

Vor.: Es sei $\overline{AB}$ eine Strecke.

Beh.: $\mathrm{\exists }!\overline{AB*}||AB*|=\pi \left|AB\right|\wedge \overline{AB}c\overline{AB*}$

Bew.:Existenz:

Schritt	Begründung
(2) $\mathrm{\exists }A{B}^{+}:A,B\in A{B}^{+}$	Def Strahl
(3) $\mathrm{\exists }B*:|AB*|=\pi \left|AB\right|\wedge B*\in A{B}^{+}$	A vom Lineal, (2)
(4) $|AB*|>\left|AB\right|$	(3),da Abstand $\pi$ mal so groß
(5) $\left|AB\right|+|BB*|=|AB*|$	zw. Relation, (4),(3)
(6) zw(A,B,B*)	(5)
$\overline{AB}c\overline{AB*}$	(6),(2),(3)

Bew.:Eindeutigkeit:
Ann.: $(\mathrm{\exists }\overline{AB*}||AB*|=\pi \left|AB\right|\wedge \overline{AB}c\overline{AB*})\wedge (\mathrm{\exists }\overline{AC*}||AC*|=\pi \left|AB\right|\wedge \overline{AB}c\overline{AC*})\wedge B*\ne C*$

Schritt	Begründung
(1) $\mathrm{\exists }A{B}^{+}:A,B\in A{B}^{+}$	Def Strahl
(2) $\mathrm{\exists }B*:|AB*|=\pi \left|AB\right|\wedge B*\in A{B}^{+}$	A vom Lineal, (1)
(3) $\mathrm{\exists }C*:|AC*|=\pi \left|AB\right|\wedge C*\in A{B}^{+}$	A vom Lineal, (1)
(4) $|AB*|=\pi \left|AB\right|\wedge |AC*|=\pi \left|AB\right|$	(2),(3)
(5) $|AB*|=|AC*|$	Rechen in R, (4)
(6) $B*\in A{B}^{+}\wedge C*\in A{B}^{+}$	(2),(3)
(7)Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\lightning“): {\displaystyle B* = C* \lightning} zur Ann. ,diese ist zu Verwerfen	A vom Lineal (6),(4)--RicRic 13:32, 4. Dez. 2011 (CET)