Lösung von Aufgabe 8.4 (WS 11/12)

Beweisen Sie: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.

Vor.: Es sei AB eine Strecke und M der Mittelpunkt von AB

Beh.: Es existiert höchstens ein Mittelpunkt Ann.: Es existiert M2 ein folgenden Eigenschaften: M2 ist Mittelpukt der Srecke AB und M2 ungleich M

Beweis:

Schritt	Begründung
(1)zw.(A,M,B)	Vor., Def Mittelpunkt
(2)zw.(A,M2,B)	Ann.
(3) $\left|AM\right|+\left|MB\right|=\left|AB\right|$	(1),zw Relation
(4) $\left|AM\right|+\left|M2B\right|=\left|AB\right|$	(2), zw Relation
(5)$M\ne M2$	Ann.
(6) $\left|AM\right|+\left|MB\right|=\left|AM\right|+\left|M2B\right|$	(3),(4), Rechen in R
(7) $\left|AM\right|=\left|MB\right|$	Def. Mittelpunkt (3),(4)
(8) $\left|AM2\right|=\left|M2B\right|$	Def. Mittelpunkt (3),(4)
(9) $2\left|AM\right|=\left|AB\right|$	(7)
(10) $2\left|AM2\right|=\left|AB\right|$	(8)
(11) $2\left|AM\right|=2\left|M2A\right|$	(10)
(12) M=M2	(11) Axiom vom Lineal

--RicRic 00:05, 6. Dez. 2011 (CET)