Lösung von Aufg. 9.4 (WS 11/12)

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Ferner sei eine Gerade g Teilmenge der Ebene E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge. Beweisen Sie folgenden Zusammenhang:

$\overline{AB}\cap g\ne \{\}\wedge \overline{BC}\cap g=\{\}\Rightarrow \overline{AC}\cap g\ne \{\}$


Vor.: $\mathrm{koll}(A,B,C)\wedge A\ne B\ne C\ne D\wedge A,B,C\in E$
Beh.: $\overline{AB}\cap g\ne \{\}\wedge \overline{BC}\cap g=\{\}\Rightarrow \overline{AC}\cap g\ne \{\}$
Beweis:

Schritt	Begründung
(1)$\mathrm{koll}(A,B,C)$	Vorr
(2)$\mathrm{(}Zw)(A,B,C)entwederoder\mathrm{(}Zw)(B,C,A)entwederoder\mathrm{(}Zw)(C,A,B)$	Dreiecksungleichung, Abstand kann nicht negativ sein
(3)Fall 1: $\mathrm{(}Zw)(A,B,C)$ $g\cap \overline{AB}=\left\{S\right\}\Rightarrow g\cap \overline{AB}=\varphi$ $\overline{AB}c\overline{AC}$ $g\cap \overline{AC}=\left\{S\right\}$ Behaupt stimmt	verschiedene Geraden haben höchstens einen Punkt gemeinsam, zw Relation, Teilmengenbezieung
Fall 2: $\mathrm{(}Zw)(B,C,A)$ $g\cap \overline{AB}=\left\{S\right\}\Rightarrow entweder:g\cap \overline{BC}=\left\{S\right\}oderg\cap \overline{BC}=\left\{S\right\}$ Wiederspruch zur Behauptung
Fall 3: $\mathrm{(}Zw)(A,B,C)$ $g\cap \overline{AB}=\left\{S\right\}\Rightarrow entweder:g\cap \overline{BC}=\left\{S\right\}\wedge g\cap \overline{AC}=\varphi$ oder: g \cap \overline{AC}=\left\{ {S} \right\} \wedge g \cap \overline{BC}=\phi</math>
(4)$\mathrm{\exists }P:P\mathrm{nkoll}(A,B,C)$	A I/3
(5) $\overline{ABP}$	AI/1
(6) $\overline{BCP}$	AI/1
(7) $\overline{ACP}$	AI/1
(8) Fall 1: $P\in g$betrachte ich nachher $P\notin g$
(9) $g\cap \overline{AB}=\left\{S\right\}\Rightarrow entweder:g\cap \overline{AP}=\left\{H\right\}oder:g\cap \overline{BP}=\left\{H\right\}$	Axiom von Pasch ,(5)
(10) $g\cap \overline{BC}=\varphi \Rightarrow entweder:g\cap \overline{BP}=\varphi \wedge g\cap \overline{CP}=\varphi oder:<math>g\cap \overline{BP}=\left\{S\right\}\wedge <math>g\cap \overline{CP}=\left\{H\right\}$	Axiom von Pasch ,(6)
(11) $g\cap \overline{AC}=\left\{S\right\}\Rightarrow entwerder:g\cap \overline{CP}=\left\{H\right\}oder:g\cap \overline{AP}=\left\{H\right\}$	Axiom von Pasch ,(7)
(12) $\left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right|$	(3)
(13) $\overline{AB}c\overline{AC}$	(12)
(14) $g\cap \overline{AB}=\left\{S\right\}\Rightarrow g\cap \overline{AC}=\left\{S\right\}$	(9),10),(11),(13)
Fall 2 von (7) analog nur mit $\overline{AP}\in g$

Ich denke es sind noch einige Fehler drin, traue mich dennoch mal :-)--RicRic 23:15, 8. Dez. 2011 (CET)