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Halbebenen und das Axiom von Pasch

Halbebenen

Analogiebetrachtungen

Halbgeraden	Halbebenen

Objekt $G$, das in Klassen eingeteilt wird
$G$ ist eine ...	$G$ ist eine ...
Dimension von $G$
Dimension von	Dimension von
Objekt $T$, das $G$ in Klassen einteilt
$T$ ist ...	$T$ ist ...
Dimension von $T$
$T$ hat die Dimension ...	$T$ hat die Dimension ...
Referenzpunkt $Q$ teilt $G{\setminus }_{\{Q\}}$ in genau zwei Klassen
Klasse 1: Menge aller Punkte $P\mathrm{\in }G$ , die mit $Q$ bezüglich $T$ „auf derselben Seite liegen“
$A{Q}^{+}=\{P|...\}$	$g{Q}^{+}=\{P|...\}$
Klasse 2: Menge aller Punkte $P\mathrm{\in }G$, die bezüglich $T$ nicht auf der Seite von $Q$liegen.
$A{Q}^{-}=\{P|...\}$	$g{Q}^{-}=\{P|...\}$

Definition des Begriffs der Halbebene

Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen

Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene $\mathrm{E}$ gehört u.a., dass jede Gerade $g$, die zu unserer jeweiligen Ebene $\mathrm{E}$ gehört, diese in zwei Hälften bzw. zwei Seiten einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden Seiten von $\mathrm{E}$ bezüglich der Geraden $g$ verwenden wir einen Punkt $Q\in \mathrm{E}$, welcher nicht zu $g$ gehören sollte.
Zu der einen Hälfte von $\mathrm{E}$ bezüglich $g$ gehören alle die Punkte aus $\mathrm{E}\setminus g$, die mit $Q$ auf derselben Seite von $g$ liegen. Alle anderen Punkte aus $\mathrm{E}\setminus g$ gehören zur anderen Seite von $\mathrm{E}$ bezüglich $g$.

Offene Halbebenen

Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene $\mathrm{E}$, die nicht auf einer Geraden $g$ dieser Ebene liegen, durch diese Gerade $g$ eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von $\mathrm{E}$ bezüglich der Trägergeraden $g$. Der nicht zu $g$ gehörende Referenzpunkt $Q\in \mathrm{E}$ bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich $g$ mit $Q$ auf derselben Seite liegen, wird mit $g{Q}^{+}$ bezeichnet, die andere offene Halbebene von $\mathrm{E}$ bezüglich $g$ und $Q$ mit $g{Q}^{-}$.

Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was es denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte $P$ und $Q$ einer Ebene $\mathrm{E}$ auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden $g$ liegen.

Definition IV.1: (offene Halbebene)

Es sei $\mathrm{E}$ eine Ebene in der die Gerade $g$ liegen möge. Ferner sei $Q$ ein Punkt der Ebene $\mathrm{E}$, der nicht zur Geraden $g$ gehört.
Unter den offenen Halbebenen $g{Q}^{+}$ und $g{Q}^{-}$ der Ebene $\mathrm{E}$ bezüglich der Trägergeraden $g$ versteht man die folgenden Punktmengen:

$g{Q}^{+}:=\{P|...\}$

$g{Q}^{-}:=\{P|...\}$