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Formatierungshilfen und -erinnerungen

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Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Element	Voraussetzung
(II)	Element	Element
(III)	Element	Element
(IV)	Element	Element
(V)	Element	Element

Kleine Zusammenfassungen

Klasseneinteilung

Es sei $ M $ eine Menge und $ K=\{T_{1},T_{2},T_{3},...,T_{n},...\} $ eine Menge von Teilmengen von $ M $.

$ K $ ist eine Klasseneinteilung von $ M $, wenn gilt:

1. notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
2. notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
3. notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge $ M $.

Mengen sind disjunkt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

Relationen

Definition: (n-stellige Relation)

Es seien $ M_{1},\ M_{2},\ M_{3},\ ...,\ M_{n}\ n $ Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus $ M_{1}\times M_{2}\times M_{3}...\times M_{n} $ ist eine $ \ n- $stellige Relation.

Definition: (Äquivalenzrelation)

Eine Relation $ \ R $ in einer Menge $ \ M $ heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Versuch einer Auflistung

Axiome

AXIOM I/0

Geraden und Ebenen sind Punktmengen.

AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)

Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

AXIOM I/2

Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.

AXIOM I/3

Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.

Axiom I/4

Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

Axiom I/5

Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

Axiom I/6

Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

Axiom I/7

Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

Zu je zwei Punkten $ \ A $ und $ \ B $ gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl $ \ d $ mit $ d=0:\Longleftrightarrow A=B $.

Axiom II.2:

Für zwei beliebige Punkte $ \ A $ und $ \ B $ gilt $ \left|AB\right|=\left|BA\right| $.

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)

Für drei beliebige Punkte $ \ A,B $ und $ \ C $ gilt: $ \left|AB\right|+\left|BC\right|\geq \left|AC\right|. $

Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)

Zu jeder nicht negativen reelen Zahl $ \ d $ gibt es auf jedem Strahl $ \ p $ genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von $ \ p $ den Abstand $ \ d $ hat.

Definitionen

Definition I/2: (kollinear)

Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.

Schreibweise: koll(A, B, C, ...) Sollten die Punkte A, B, C einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(A, B, C)

Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)

Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.

Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)

Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.

Definition I/5: (Raum)

Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

Definition I/6: (komplanar)

Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...) (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

Definition I/7: (komplanar für Geraden)

Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.

Schreibweise: komp(g, h)

Definition I/8: (Geradenparallelität)

Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.

In Zeichen: g||h.

Definition I/9: (windschief )

Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

Definition I/10: (parallel für Ebenen)

Zwei Ebene E₁ und E₂ sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

Definition II.1: (Abstand)

Der Abstand zweier Punkte $ \ A $ und $ \ B $ ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten $ \ A $ und $ \ B $ zugeordnet werden kann.
Schreibweise: $ d=\left|AB\right| $.

Definition II.1: (Zwischenrelation)

Ein Punkt $ \ B $ liegt zwischen zwei Punkten $ \ A $ und $ \ C $, wenn $ \left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right| $ gilt und der Punkt $ \ B $ sowohl von $ \ A $ als auch von $ \ C $ verschieden ist.

Schreibweise: $ \operatorname {Zw} \left(A,B,C\right) $

Definition II.3: (Halbgerade, bzw. Strahl)

Lösung_von_Aufgabe_6.5

Lösung_von_Aufgabe_6.6

Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)

Wenn ein Punkt $ \ M $ der Strecke $ {\overline {AB}} $ zu den Endpunkten $ \ A $ und $ \ B $ jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke $ {\overline {AB}} $.

Sätze

Satz I.1

Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.

Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)

Es seien g und h zwei Geraden.

Wenn g und h mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind g und h identisch.

Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)

Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.

Satz I.5:

Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

Satz I.6:

Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Satz I.7:

Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

Satz II.1

Aus $ \operatorname {Zw} \left(A,B,C\right) $ folgt $ \operatorname {Zw} \left(C,B,A\right) $.

Satz II.2:

Aus $ \operatorname {Zw} \left(A,B,C\right) $ folgt $ \operatorname {koll} \left(A,B,C\right) $.

Satz II.3

Es sei $ \operatorname {koll} \left(A,B,C\right) $ mit $ \ A,B,C $ sind paarweise verschieden.
Dann gilt $ \operatorname {Zw} \left(A,B,C\right) $ oder $ \operatorname {Zw} \left(A,C,B\right) $ oder $ \operatorname {Zw} \left(B,A,C\right) $.

Satz II.4

Es sei $ \ O $ ein Punkt einer Geraden $ \ g $.
Die Teilmengen $ \ OA^{+}\setminus \left\{O\right\} $, $ \left\{O\right\} $ und $ \ OA^{-}\setminus \left\{O\right\} $ bilden eine Klasseneinteilung der Geraden $ \ g $.

Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke)

Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.