Winkel und Winkelmessung

Winkel und Winkelmessung

Begriff des Winkels

Identifizieren von Winkeln

Repräsentanten und Gegenrepräsentanten

In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?

Punktmenge 1	Punktmenge 2	Punktmenge 3	Punktmenge 4
Punktmenge 5	Punktmenge 6	Punktmenge 7	Punktmenge 8

Tabelle 1

Winkelmodell	kein Winkelmodell
Tragen Sie die Nummern der entsprechenden obigen Punktmengen ein. Begründen Sie für jede Nummer Ihre Wahl.	Tragen Sie die Nummern der entsprechenden obigen Punktmengen ein. Begründen Sie für jede Nummer Ihre Wahl.

Prozeß der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung

In der Didaktik bezeichnen wir die Art und Weise der Erarbeitung eines neuen Begriffs entsprechend obiger Tabelle als induktive Begriffserarbeitung: Eine gewisse Menge an Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des zu erarbeitenden Begriffs wird vorgegeben. Dann teilt man diese Menge in genau zwei Klassen ein. Die eine Klasse bilden alle Begriffsrepräsentanten, die ander Menge der Rest.

Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.

Zum besseren Verständnis: Analoge Erarbeitung des Begriffs Trapez:

Realisieren von Winkeln

Die Idee des konstruktiven Begriffserwerbs

Während beim induktiven Begriffserwerb das Ausgangsmaterial für den Schüler bereits vorgefertigt wurde, generiert er es sich beim konstruktiven Begriffserwerb selbst. Der gute Lehrer läßt in der Regel beide Varianten zur Anwendung kommen.

Konstruktion eines Winkels

Aufgabe: Zeichne einen Winkel

Lösung:

Konstruktionsschritt	Beschreibung
	Zeichne einen ...
	Zeichne einen zweiten ..., der

Definition des Winkelbegriffs

Definition V.1: (Winkel)

Ein Winkel ist ein Paar .... .

... heißt der Scheitelpunkt von ...

... sind die Schenkel von ...

Arten, Winkel zu beschreiben

Beispiel	Beschreibung	in Zeichen	Quelltext in Tex
	Winkel, der aus den beiden Strahlen $p$ und $q$ besteht.	$\mathrm{\angle }pq$	\angle pq
	Winkel, der aus den beiden Strahlen $S{A}^{+}$ und $S{B}^{+}$ besteht.	$\mathrm{\angle }ASB$	\angle ASB

Die Idee des gerichteten Winkels

Gerichtete Winkel werden in der Einführung in die Geometrie keine Rolle spielen. Trotzdem dürfen Sie hier ergänzen, was denn ein gerichtetet Winkel wäre.

Das Innere eines Winkels

So ist es zu verstehen

Flashapplikation

Definition des Inneren eines Winkels

Definition V.2: (Inneres eines Winkels)

Das Innere eines Winkels $\mathrm{\angle }ASB$ ist der Schnitt ...

Satz V.1

Das Innere eines Winkels ist konvex.

Beweis von satz V.1

trivial entsprechend Satz IV., Satz IV.3 und der Definition V.2

Überstumpfe Winkel?

Bemerkung: Entsprechend Definition V.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.

Scheitelwinkel und Nebenwinkel

Scheitelwinkel

Definition

Definition V.3: (Scheitelwinkel)

Die Winkel $\mathrm{\angle }S{A}^{+},S{B}^{+}$ und $\mathrm{\angle }S{A}^{-},S{B}^{-}$ sind Nebenwinkel.

Nebenwinkel

Definition

Definition V.4: (Nebenwinkel)

Die Winkel $\mathrm{\angle }S{A}^{+},S{B}^{+}$ und $\mathrm{\angle }S{A}^{-},S{B}^{+}$ sind Nebenwinkel.

Winkelmessung

Das Winkelmaß

Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen?

Länge einer Strecke	Größe eines Winkels
nichtnegative reelle Zahl	reelle Zahl zwischen 0 und 180

Das Winkelmaßaxiom

Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom)

Zu jedem Winkel $\alpha$ gibt es genau eine reelle Zahl $\omega$ zwischen 0 und 180.

Definition V.4: (Größe eines Winkels)

Die Zahl $\omega$, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel $\alpha$ eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von $\alpha$ genannt.
In Zeichen: $\omega =\left|\alpha \right|$.

Winkelkonstruktion

Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens

Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)

Es sei $g\equiv SA$ eine Gerade in der Ebene $\mathrm{E}$. Zu jedem Winkel $\alpha$ gibt es in jeder der beiden durch $g$ bestimmten Halbebenen der Ebene $\mathrm{E}$ genau einen Strahl $S{B}^{+}$ mit $\left|\alpha \right|=\left|\mathrm{\angle }ASB\right|$

Winkeladdition

Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)

Wenn der Punkt $P$ zum Inneren des Winkels $\mathrm{\angle }ASB$ gehört, dann gilt $\left|\mathrm{\angle }ASP\right|+\left|\mathrm{\angle }PSB\right|=\left|\mathrm{\angle }ASB\right|$.

Satz V.2

Wenn der Punkt $P$ im Inneren des Winkels $\mathrm{\angle }ASB$ liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel $\mathrm{\angle }ASP$ und $\mathrm{\angle }PSB$ jeweils kleiner als die Größe des Winkels $\mathrm{\angle }ASB$.