Isomorphie von Gruppen 2012 13

Definition Definition (Gruppenisomorphismus) Es seien $(G,\oplus )$ und $(H,\otimes )$ zwei Gruppen. Wenn eine Bijektion $\phi$ von $G$ auf $H$ derart existiert, dass $\mathrm{\forall }a,b\in G:\phi (a\oplus b)=\phi (a)\otimes \phi (b)$ gilt, dann sind die beiden Gruppen $(G,\oplus )$ und $(H,\otimes )$ isomorph zueinander. Die Abbildung $\phi$ heißt Gruppenisomorphismus. Beispiele Vierergruppen ergänzen Sie selbst ... Pfeilklassen der Ebene und ${\mathbb{ℝ}}^2$ Wir legen der Ebene ein kartesisches Koordinatensystem $K$ mit dem Koordinatenursprung $O$ zugrunde. Wir repräsentieren jetzt jede Pfeilklasse durch ihren Repräsentanten mit dem Anfangspunkt $0$. Jetzt definiren wir die folgende Abbildung $\phi$ von der Menge der Pfeilklassen auf ${\mathbb{ℝ}}^2$: $\phi (\overrightarrow{OP}):=\left(\begin{array}{c}{x}_P\\ y_P\end{array}\right)$ mit $x_p,y_P$ sind die Kordnaten von $P$ bzgl. $K$. Behauptung: $\phi$ ist ein Gruppenisomorphismus von $({\mathbb{\mathbb{P}}}_2,+)$ auf $({\mathbb{ℝ}}^2,\oplus )$ Pfeilklassen des Raumes und ${\mathbb{ℝ}}^3$