Übungen 09

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Aufgabe 1

Zeigen Sie, dass die Vektoren a→=(1230), b→=(212−1), c→=(312−1) und d→=(−4103) linear abhängig sind und überprüfen Sie, welche(r) der Vektoren sich als Linearkombination der jeweils anderen drei Vekotren darstellen lässt/lassen.


Aufgabe 2

a) Prüfen Sie, ob die Vektoren v1=(4,4,4),v2=(2,4,6) und v3=(3,4,5) ein Erzeugendensystem vonℝ3 bilden.
b) Untersuchen Sie, für welche t∈ℝ die Vektoren v1=(1,3,4),v2=(3,t,11),v3=(−4,−4,0) linear abhängig in ℝ3 sind.

Aufgabe 3

Bestimmen Sie eine Basis des von der Menge erzeugenten Vektorraum U=<X>.
X={(010−1);(101−2);(−1−201);(−1010);(10−1−1);(20−10)}.
Gilt <X>=ℝ4?

Aufgabe 4

Geben Sie für folgende Vektorräume eine Basis an:
a) {(x1,x2,x3)∈ℝ3:x1=x3}
b){(x1,x2,x3,x4)∈ℝ4:x1+3x2+2x4=0;2x1+x2+x3=0}


Aufgabe 5

Sei V ein reeler Vektorraum und a,b,c,d,e∈V. Zeigen Sie, dass die folgenden Vektoren linear abgängig sind:
v1=a+b+c, v2=2a+2b+2c−d, v3=a−b−e, v4=5a+6b−c+d+e, v5=a−c+3e, v6=a+b+d+e

Aufgabe 6

Bestimmen Sie eine Basis des von der Menge erzeugenten Vektorraum U=<X>.
X={(010−1);(101−2);(−1−201);(−1010);(10−1−1);(20−10)}.
Gilt <X>=ℝ4?

Aufgabe 7

Geben Sie für folgende Vektorräume eine Basis an:
a) {(x1,x2,x3)∈ℝ3:x1=x3}
b){(x1,x2,x3,x4)∈ℝ4:x1+3x2+2x4=0;2x1+x2+x3=0}

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