Implikationen SoSe 2017

Implikationen Generelle Kennzeichnung von Implikationen Implikationen sind spezielle mathematische Aussagen, deren Typ sich kurz wie folgt darstellen bzw. beschreiben lässt: Wenn $a$ dann $b$. Aus $a$ folgt $b$. $a$ impliziert $b$. $b$ ist eine Folgerung aus $a$. Unter der Voraussetzung, dass $a$ gilt, gilt auch $b$. $a$ ist hinreichend dafür, dass $b$ gilt. $a\Rightarrow b$ Die Aussage $a$ heißt in der Implikation $a\Rightarrow b$ Voraussetzung, die Aussage $b$ wird Behauptung genannt. Beispiele Implikation 1: Satz zur Teilbarkeit durch 3 Wenn die Quersumme $\bar{a}$einer natürlichen Zahl $a$ durch $3$ teilbar ist, dann ist auch die Zahl $a$ durch $3$ teilbar. In Formelsprache: $\mathrm{\forall }a\in \mathbb{\mathbb{N}}:3|\bar{a}\Rightarrow 3|a$ Voraussetzung: $3|\bar{a}$ Behauptung: $3|a$ Implikation 2: Satz zur Teilbarkeit von Summen Für alle natürlichen Zahlen $a,b,t$ gilt: Wenn $t$ die Zahlen $a$ und $b$ teilt, dann teilt $t$ auch die Summe $a+b$. In Formelsprache: $\mathrm{\forall }a,b,t\in \mathbb{\mathbb{N}}:$ $t|a\wedge t|b\Rightarrow t|(a+b)$ Voraussetzung: Wir haben zwei Voraussetzungen die durch das logische und zu einer Voraussetzung zusammengefasst werden: V1: $t|a$ V2: $t|b$ V: $t|a\wedge t|b$ Behauptung: $t|(a+b)$ Implikation 3: Nebenwinkelsatz Wenn $\alpha$ und $\beta$ Nebenwinkel sind, dann ist die Summe ihrer Größen $180^{\circ }$ In anderer Formulierung ohne wenn-dann: Nebenwinkel ergänzen sich zu $180^{\circ }$ Voraussetzung: $\alpha$ und $\beta$ sind Nebenwinkel Behauptung: $\alpha$ und $\beta$ sind supplementär. Implikation 4: Scheitelwinkelsatz Wenn die beiden Winkel $\alpha$ und $\beta$ Scheitelwinkel sind, dann haben sie dieselbe Größe. alternative Formulierung ohne wenn-dann: Scheitelwinkel haben dieselbe Größe. oder Scheitelwinkel sind kongruent zueinander. Voraussetzung $\alpha$ und $\beta$ sind Scheitelwinkel Behauptung $|\alpha |=|\beta |$ bzw. $\alpha \cong \beta$ Implikation 5: Nonsens Wenn die Gerade $g$ durch keinen der Eckpunkte des Dreiecks $\overline{ABC}$ geht und jede der drei Seiten $\overline{AB},\overline{BC},\overline{AC}$ geht, dann ist $\sqrt{2}$ eine rationale Zahl. Voraussetzung: $\text{nkoll}(A,B,C)\wedge A,B,C\in ̸g\wedge g\cap \overline{AB}=\mathrm{\varnothing }\wedge g\cap \overline{BC}=\mathrm{\varnothing }\wedge g\cap \overline{AC}=\mathrm{\varnothing }$ Behauptung: $\mathrm{\exists }n,m\in \mathbb{\mathbb{N}}:\frac{n}{m}=\sqrt{2}$