Lösung von Zusatzaufgabe 3.5P (WS 16/17)

Welche Definition für Kreis ist richtig? Warum (nicht)?

• Sei $M$ ein Punkt und $P$ eine Menge, deren Elemente Punkte sind. Wenn gilt: $\left|MP\right|$ ist konstant, so ist $P$ ein Kreis mit Mittelpunkt $M$.
• Sei $M$ ein Punkt und $P$ eine Punktmenge. Wenn gilt: $X\in P:\left|XM\right|=r$, dann ist $P$ ein Kreis.
• Sei $M$ ein Punkt in der Ebene $E$ und $P$ eine Punktmenge. Wenn $P$ alle Punkte $X$ enthält für die gilt∶ $\left|XM\right|=r,r\in {\mathbb{ℝ}}^{+}$ und $X\in E$, dann ist $P$ ein Kreis mit dem Mittelpunkt $M$.
• Sei $M$ ein Punkt in der Ebene $E$ und $P$ eine Punktmenge. Wenn $P$ genau alle Punkte $X$ enthält für die gilt∶ $\left|XM\right|=r,r\in {\mathbb{ℝ}}^{+}$ und $X\in E$, dann ist $P$ ein Kreis mit dem Mittelpunkt $M$.
• Sei $M$ ein Punkt in der Ebene $E$ und $P$ eine Menge, deren Elemente Punkte sind. Wenn für alle $X\in P$ gilt∶ $\left|XM\right|=r,r\in {\mathbb{ℝ}}^{+}$, dann ist $P$ ein Kreis.
• Sei $M$ ein Punkt und $P$ eine Menge, deren Elemente Punkte sind. Alle Elemente von $P$ liegen in ein und derselben Ebene wie $M$. Wenn gilt: $\left|MP\right|$ ist konstant, so ist $P$ ein Kreis mit Mittelpunkt $M$.