Definitionen WS10/11

Definitionen

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Definition: (n-stellige Relation)

Es seien $ M_{1},\ M_{2},\ M_{3},\ ...,\ M_{n}\ n $ Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus $ M_{1}\times M_{2}\times M_{3}...\times M_{n} $ ist eine $ \ n- $stellige Relation.

Definition: (Klasseneinteilung eine Menge)

Es sei $ M $ eine Menge und $ K=\{T_{1},T_{2},T_{3},...,T_{n},...\} $ eine Menge von Teilmengen von $ M $.

$ K $ ist eine Klasseneinteilung von $ M $, wenn

1. notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
2. notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
3. notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge $ M $.

Mengen sind disjukt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

Definition I/2: (kollinear)

Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.

Schreibweise kolinear: koll(A, B, C, ...)

Schreibweise nicht kollinear: nkoll(A, B, C)

Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)

Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.

Definition: (Parallelität von Geraden)

Zwei Geraden sind paralle, wenn sie in derselben Ebene liegen und entweder keinen oder alle Punkte gemeinsam haben.

Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)

Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.

Definition I/5: (Raum)

Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

Definition I/6: (komplanar)

Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...) (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

Definition I/7: (komplanar für Geraden)

Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.

Schreibweise: komp(g, h)

Definition I/8: (Geradenparallelität)

Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.

In Zeichen: g||h.

Definition I/9: (windschief )

Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

Definition I/10: (parallel für Ebenen)

Zwei Ebene E1 und E2 sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

Definition II.1: (Abstand)

Der Abstand zweier Punkte $ \ A $ und $ \ B $ ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten $ \ A $ und $ \ B $ zugeordnet werden kann.
Schreibweise: $ d=\left|AB\right| $.

Definition II.2: (Zwischenrelation)

Ein Punkt $ \ B $ liegt zwischen zwei Punkten $ \ A $ und $ \ C $, wenn $ \left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right| $ gilt und der Punkt $ \ B $ sowohl von $ \ A $ als auch von $ \ C $ verschieden ist.

Schreibweise: $ \operatorname {Zw} \left(A,B,C\right) $

Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)

Wenn ein Punkt $ \ M $ der Strecke $ {\overline {AB}} $ zu den Endpunkten $ \ A $ und $ \ B $ jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke $ {\overline {AB}} $.

Definition IV.1: (offene Halbebene)

Es sei $ \ \mathrm {E} $ eine Ebene in der die Gerade $ \ g $ liegen möge. Ferner sei $ \ Q $ ein Punkt der Ebene $ \ \mathrm {E} $, der nicht zur Geraden $ \ g $ gehört.
Unter den offenen Halbebenen $ \ gQ^{+} $ und $ \ gQ^{-} $ bezüglich der Trägergeraden $ \ g $ versteht man die folgenden Teilmengen der Ebene $ \ \mathrm {E} $ ohne die Gerade $ \ g $ :

$ \ gQ^{+}:=\{P|\neg \exists S\,\{S\}=g\cap {\overline {PQ}}\} $

$ \ gQ^{-}:=\{P|\exists S\,\{S\}=g\cap {\overline {PQ}}\}\setminus \{g\} $

Definition IV.2: (Halbebene)

Es sei $ \ g $ eine Gerade der Ebene $ \ \mathrm {E} $. $ \ gQ^{+} $ und $ \ gQ^{-} $ seien die beiden offenen Halbebenen von $ \ \mathrm {E} $ bezüglich $ \ g $. Unter den (geschlossenen) Halbebenen von $ \ \mathrm {E} $ bezüglich $ \ g $ versteht die beiden Punktmengen, die durch die Vereinigung jeder dieser beiden offenen Halbebene von $ \ \mathrm {E} $ bezüglich der Geraden $ \ g $ mit jeweils dieser Geraden $ \ g $ entstehen.

$ \ gQ^{+}:=\{P|\neg \exists S\,\{S\}=g\cap {\overline {PQ}}\}\cup \{g\} $

$ \ gQ^{-}:=\{P|\exists S\,\{S\}=g\cap {\overline {PQ}}\} $

Definition IV.3: (konvexe Punktmenge)

Eine Menge $ \ M $ von Punkten heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten $ \ A $ und $ \ B $ dieser Menge die gesamte Strecke $ {\overline {AB}} $ zu $ \ M $ gehört.