Sätze WS10/11

Sätze

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Satz I.1

Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.

Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)

Es seien g und h zwei Geraden.

Wenn g und h mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind g und h identisch.

Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)

Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.

Satz I.5:

Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

Satz I.6:

Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Satz I.7:

Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

Satz II.1

Aus $\mathrm{Zw}(A,B,C)$ folgt $\mathrm{Zw}(C,B,A)$.

Satz II.2:

Aus $\mathrm{Zw}(A,B,C)$ folgt $\mathrm{koll}(A,B,C)$.

Satz II.3

Es sei $\mathrm{koll}(A,B,C)$ mit $A,B,C$ sind paarweise verschieden.
Dann gilt $\mathrm{Zw}(A,B,C)$ oder $\mathrm{Zw}(A,C,B)$ oder $\mathrm{Zw}(B,A,C)$.

Satz II.4

Es sei $O$ ein Punkt einer Geraden $g$.
Die Teilmengen $O{A}^{+}\setminus \left\{O\right\}$, $\left\{O\right\}$ und $O{A}^{-}\setminus \left\{O\right\}$ bilden eine Klasseneinteilung der Geraden $g$.

Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke)

Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.

Satz IV.1

Wenn $Q_2$ ein Punkt der Halbebene ${g{Q}_1}^{+}$ ist, dann gilt ${g{Q}_1}^{+}\equiv {g{Q}_2}^{+}$ und ${g{Q}_1}^{-}\equiv {g{Q}_2}^{-}$.

Satz IV.2

Halbebenen sind konvexe Punktmengen

Satz IV.3

Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.