Quiz der Woche

Es sei $R$ ein Äquivalenzrelation auf der Menge $M$. Wir zerlegen $M$ derart in Teilmengen $T_1,T_2,T_3,...,T_n,...$, dass gilt: Jede der Teilmengen besteht aus all den Elementen von $M$, die in der Relation $R$ zueinander stehen.

Übung zur Generierung einer Klasseneinteilung entsprechend obiger Idee.
Wir gehen von der folgenden Menge $M$ aus:
$\{$-26, 17, 75, -40, -13, 17, -55, -15, 7, -35, 95, 65, -9, 40, 3, 0,91, 70, -62, -22, 12, 26, 31,33, 50, -15, -100, -83, -61, -17 $\}$
Die Relation $R$ sei wie folgt festgelegt: Zwei Zahlen aus $M$ stehen in Relation zueinander, wenn sie bei Division durch 4 denselben Rest lassen. Da als Reste nur die Zahlen 0, 1, 2 und 3 in Frage kommen wird $M$ in 4 verschiedene Klassen entsprechend dieser Relation eingeteilt. Die Zahlen -40, 17, -26 und 75 gehören dementsprechend jeweils in eine eigene Klasse. Orden Sie die restlichen Zahlen durch Ziehen mit der Maus den richtigen Klassen zu.

-40	40	0	12	-100
17	17	-55	-15	-35	65	33	-15	-83
-26	70	-62	-22	26	50
75	-13	7	95	-9	3	91	31	-61	-17

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Punkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere die Fragen-Koeffizienten:

Die Idee, eine Klasse durch eines ihrer Elemente zu beschreiben.
{Wir wollen versuchen, die Art und Weise der Generierung einer beliebigen der Teilmengen $T_1,T_2,T_3,...,T_n,...$ formal zu beschreiben. Diesbezüglich stellen wir fest, dass es sinnvoller ist, nicht mit Zahlen, sondern Elementen aus $M$ zu indizieren. Unter der Klasse $T_a$ verstehen wir dann alle Elemente von $M$, die mit dem Element $a$ aus M in der Relation $R$ stehen. Welche der folgenden formalen Definitionen ist bezüglich dieser Idee korrekt?

	$\underset{a\in M}{\bigwedge }:T_a:=\{b|b\in M\wedge bRa\}$
	$\underset{b\in M}{\bigwedge }:T_b:=\{x|x\in M\wedge xRb\}$

Im folgenden soll bewiesen werden, dass die so gewonnenen Teilmengen von $M$ eine Klasseneinteilung von $M$ sind. Ergänzen Sie dementsprechend die folgenden Ausführungen:

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Punkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere die Fragen-Koeffizienten:

Überlegungen zur Voraussetzung

Voraussetzung: $R$ ist eine

Das bedeutet:

(R) $R$ ist

(S) $R$ ist

(T) $R$ ist

Pluspunkt für eine richtige Antwort:
Punkte für eine falsche Antwort:
Ignoriere die Fragen-Koeffizienten:

Überlegungen zur Behauptung

Behauptung: Die Einteilung von $M$ in die Teilmengen $T_1,T_2,T_3,...,T_n,...$ ist eine von $M$.

Das bedeutet, dass wir zu zeigen haben:

(L) Der Durchschnitt zweier verschiedener Teilmengen $T_i$ und $T_j$ ist die

(S) Die Vereinigungsmenge aller Teilmengen $T_1,T_2,T_3,...,T_n,...$ ist die Menge

(0) Weder $T_1$ noch $T_2$ noch irgendeine andere der Mengen $T_1,T_2,T_3,...,T_n,...$ ist .