Gruppen, abelsche Gruppen 2012 12

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Beispiele für endliche Gruppen

Restklassen modulo 4

ℤ4:={0‾,1‾,2‾,3‾}
mit
0‾:={...,−8,−4,0,4,8,...} (Menge aller durch 4 teilbaren ganzen Zahlen),
1‾:={...,−7,−3,1,5,9,...} (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 1 lassen),
2‾:={...,−6,−2,2,6,10,...} (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 2 lassen),
3‾:={...,−5,−1,3,7,11,...} (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 3 lassen),

Wir definieren auf ℤ4 eine Verknüpfung ⊕ wie folgt:
∀a‾,b‾∈ℤ4:a‾⊕b‾:=a+b‾

Die Struktur (ℤ4,⊕) ist eine Gruppe:

  1. Die Verknüpfung ⊕ ist auf der Menge ℤ4 abgeschlossen, d.h. ∀a‾,b‾∈ℤ4:a‾⊕b‾∈ℤ4,
  2. Die Verknüpfung ⊕ ist auf der Menge ℤ4 assoziativ, d.h. ∀a‾,b‾,c‾∈ℤ4:(a‾⊕b‾)⊕c‾=a‾⊕(b‾⊕c‾),
  3. ℤ4 hat ein neutrales Element, nämlich die Klasse 0‾, d.h. ∀a‾∈ℤ4:a‾⊕0‾=0‾⊕a‾=a‾,
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