Tangentenkriterium

Tangentenkriterium

Kriterium: (Tangete am Kreis)

Eine Gerade t, die durch einen Punkt A eines Kreises k mit dem Mittelpunkt M verläuft, ist genau dann Tangente an k, wenn t senkrecht auf MA steht.

Satz 1: (Tangete am Kreis)

$t\cap k=\{A\}\Rightarrow MA\perp t$

Beweis durch Wiederspruch:
Voraussetzung: $t\cap k=\{A\}$
Behauptung: $MA\perp t$

Annahme: $MA\perp ̸t$

1	Es existiert ein Lot von M auf t, dieses ist eindeutig. Der Lotfußpunkt auf k heiße B.	Ex. und Eindeutigkeit Lot, Annahme, Voraussetzung
2	CB| = |BA|	Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom, Definition zwischenrelation, Voraussetzung, (1) und Skizze
3	$|\mathrm{\angle }MBA|=|\mathrm{\angle }MBC|=90$	nach Konstruktion, Def. NW, Def. supplementär, Supplementaxiom, Def. Lot (1)
4	$\overline{MBA}\cong \overline{MBC}$	MB| = |MB|
5	MC| = |MA| = r nach Voraussetzung und es ergeben sich zwei Schnittpunkte, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.

Satz 2: (Tangente am Kreis)

$MA\perp t\wedge k\cap t=\{A\}\Rightarrow$
t ist Tangente an k.