Tangentenkriterium

Tangentenkriterium

Kriterium: (Tangete am Kreis)

Eine Gerade t, die durch einen Punkt A eines Kreises k mit dem Mittelpunkt M verläuft, ist genau dann Tangente an k, wenn t senkrecht auf MA steht.

Satz 1: (Tangete am Kreis)

$ \ t\cap k=\lbrace A\rbrace \Rightarrow MA\perp \ t $

Beweis durch Wiederspruch:
Voraussetzung: $ \ t\cap k=\lbrace A\rbrace $
Behauptung: $ MA\perp \ t $

Annahme: $ \ MA\not \perp \ t $

1	Es existiert ein Lot von M auf t, dieses ist eindeutig. Der Lotfußpunkt auf k heiße B.	Ex. und Eindeutigkeit Lot, Annahme, Voraussetzung
2	CB| = |BA|	Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom, Definition zwischenrelation, Voraussetzung, (1) und Skizze
3	$ |\angle MBA|=|\angle MBC|=90 $	nach Konstruktion, Def. NW, Def. supplementär, Supplementaxiom, Def. Lot (1)
4	$ {\overline {MBA}}\cong {\overline {MBC}} $	MB| = |MB|
5	MC| = |MA| = r nach Voraussetzung und es ergeben sich zwei Schnittpunkte, was ein Widerspruch zur Voraussetzung ist.

Satz 2: (Tangente am Kreis)

$ MA\perp \ t\wedge k\cap t=\lbrace A\rbrace \Rightarrow $ t ist Tangente an k.

Eigentlich erscheint dieser Beweis komisch. Allerdings könnte es ja sein, dass wenn eine Gerade durch eben einen Punkt A verläuft und senkrecht auf dem Berührradius steht, dass dann trotzdem ein zweiter Schnittpunkt vorhanden ist mit k und dann wäre halt t keine Tangente mehr.

Voraussetzung: $ MA\perp \ t\wedge k\cap t=\lbrace A\rbrace $
Behauptung: t ist Tangente an k
Annahme: Es ex. ein Punkt S: $ S\neq A\wedge \ t\cap k=\lbrace S\rbrace $

Ich versuche diesen Beweis bewusst in der absoluten Geometrie zu Beweisen. Mit der Innenwinklesumme wäre es natürlich noch einfacher, aber zwecks der Übung.

1	$ \left|MA\right|=\left|MS\right| $	Annahme, Definiton Kreis und Radius
2	$ |\angle MAS|=|\angle MSA|=90 $	Voraussetzung, Basiswinkelsatz, (1), Def. Senkrecht
3	Demnach sind im Dreieck zwei Winkel nicht spitz, was ein Widerspruch zu einem der Korollare ist. Demnach ist die Annahme zu verwerfen.	Korollar des schwachen Außenwinkelsatzes, (2), Definition Dreieck

--Flo60 10:53, 24. Jul. 2011 (CEST)