Serie 03
Aufgabe 3.1
(alles in ein und derselben Ebene) Es sei $ k $ ein Kreis mit dem Mittelpunkt $ M $ und dem Radius $ r $. Ferner sei $ g $ eine Gerade, die durch den Mittelpunkt von k geht. Schließlich sei $ Z $ der gemeinsame Schnittpunkt der Senkrechten in $ M $ auf $ g $ mit $ k $. Wir definieren eine Abbildung $ \varphi $ von $ k\setminus _{Z} $ auf $ g $: $ \forall P\in k\setminus _{Z}:\varphi (P)=ZP\cap g $. Ist $ \varphi $ fixpunktfrei?
Aufgabe 3.2
Es sei $ X=\left\{(x,0)|x\in \mathbb {R} \right\} $. Wir definieren auf $ X $ die folgende Abbildung $ \varphi $: $ \forall (x,0)\in X:\varphi ((x,0))=(x,\sin ^{2}x) $. Jedes Element des $ \mathbb {R} ^{2} $ fassen wir als Punkt auf. Hat $ \varphi $ Fixpunkte? Wenn ja welche? (Geogebra hilft)
Aufgabe 3.3
Unter der Menge aller Punkte wollen wir die Menge aller Pixel eines LCD-Bildschirms $ B $ mit FullHD-Auflösung (1920 x 1080) verstehen. Jedes dieser Pixel $ P $hat bezüglich eines bildschirmeigenen Koordinatensystems die Koordinaten $ \left(x_{p},y_{p}\right) $. Wir definieren auf den Pixeln unseres Bildschirms $ B $ die folgende Abbildung $ \varphi $: $ \forall P\in B:\varphi (P)=\left(\operatorname {z} ufallsbereich(0;1920),\operatorname {z} ufallsbereich(0;1080)\right) $. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass $ \varphi $ einen Fixpunkt hat?
Aufgabe 3.1
Beweisen Sie: wenn eine Bewegung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi zwei verschiedene Fixpunkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): B hat, dann hat ist die Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): AB eine Fixpunktgerade bezüglich Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi .
Aufgabe 3.2
Beweisen Sie: Wenn drei nicht kollineare Punkte Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A,B,C Fixpunkte der Bewegung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi sind, so ist Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi die identische Abbildung. ==
