Dreieckskongruenz WS 11/12
Die beiden grundlegenden Ideen der Kongruenz =
Bewegungsgeometrie
naive Deckungsgleichheit
Bewegungen: abstandserhaltende Abbildungen der Ebene auf sich
Euklid lässt grüßen: Dreieckskongruenz
Videos zur Idee der Kongruenz
Streckenkongruenz
Wir erinnern uns an die Diskussion zu Anfang des Semesters.
Die Auswertung des Quiz zeigt: Alle drei Aussagen sind synonym.
Momentan jedoch eigentlich noch nicht. Uns fehlt eine Definition des Begriffs der Streckenkongruenz.
Definition VII.1: (Streckenkongruenz)
- Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben.
- In Zeichen
- Zwei Strecken sind kongruent, wenn sie dieselbe Länge haben.
Satz VII.1:
- Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Strecken eine Äquivalenzrelation.
Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.
Winkelkongruenz
Analog zum Begriff der Streckenkongruenz sollen zwei Winkel genau dann kongruent zueinander genannt werden, wenn sie dieselbe Größe haben.
Definition VII.2 : (Winkelkongruenz)
- Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander.
- In Zeichen:
- Zwei Winkel die dieselbe Größe haben heißen kongruent zueinander.
Satz VII.2:
- Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Winkel eine Äquivalenzrelation.
Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.
Dreieckskongruenz
In der Schule spricht man häufig davon, dass zwei Dreiecke dann kongruent zueinander sind, wenn sie in allen Stücken übereinstimmen. Unter den Stücken eines Dreieck sind dabei die jeweils drei Seiten und die jeweils drei Innenwinkel zu verstehen.
Definition VII.3: (Dreieckskongruenz)
- Wenn für zwei Dreiecke und die folgenden 6 Kongruenzen
- gelten,
- dann sind die beiden Dreiecke und kongruent zueinander.
Satz VII.3:
- Die Relation kongruent ist auf der Menge aller Dreiecke eine Äquivalenzrelation.
Der Beweis ergibt sich unmittelbar durch Rückführung auf die Gleicheitsrelation auf der Menge der reellen Zahlen.
Überprüfen Sie Ihr Verständnis:
In den Schullehrbüchern findet man häufig Konstruktionsaufgaben wie:
konstruiere das Dreieck mit den Seitenlängen , , . Schüler konstruieren aufgrund dieser Aufgabenstellung Dreiecke. Kommentieren Sie den bestimmten Artikel in der Aufgabenstellung. Was hat das alles mit der Idee der Repräsentantenunabhängigkeit zu tun?
Das Kongruenzaxiom SWS
Axiom V: (Kongruenzaxiom SWS)
- Wenn für zwei Dreiecke und die folgenden 3 Kongruenzen
- gelten,
- dann sind die beiden Dreiecke und kongruent zueinander.
Der Kongruenzsatz WSW
Satz VII.4: (Kongruenzsatz WSW)
- Wenn für zwei Dreiecke und die folgenden 3 Kongruenzen
- gelten,
- dann sind die beiden Dreiecke und kongruent zueinander.
Beweis von Satz VII.4
Als Folge von Tafeln
Video
Die Beweisidee
Testen Sie Ihr Verständnis: Beschreiben Sie hier mit drei ganz einfachen Sätzen, auf welcher Idee der Beweis beruht.
Der Kongruenzsatz SSS
Hier dürfen und sollen Sie sich austoben. Für den Beweis des Kongruenzsatzes SSS werden Sie sinnvollerweise den Basiswinkelsatz benötigen. Weil dieser jedoch von so zentraler Bedeutung ist, haben wir ihm einen eigenen Unterpunkt auf der Hauptseite spendiert. Sie dürfen ihn also hier vorab als wahr voraussetzen.
Zwei Dreiecke ABC und DEF sind zueinander kongruent, wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen.
