Lösung von Aufg. 11.7 (WS 11/12)

Beweisen Sie die Gültigkeit der Umkehrung des Basiswinkelsatzes

Vorr.:$\overline{ABC};\alpha \widetilde{=}\beta$

Beh.:$\overline{AC}\widetilde{=}\overline{BC}$

Beweis:

Schritt	Begründung
(1)$\mathrm{\exists }M:M\in \overline{AB}\wedge \left|AM\right|=\left|MB\right|$	Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes
(2) $\mathrm{\exists }m:M\in m\wedge m\perp \overline{AB}$	Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten, (1)
(3) zu Zeigen: $C\in m$	Dann gilt die Behauptung, Satz. Jeder Punkt vom m hat den selben Abstand zu A und B
(4) Ann.: $C\in ̸m$ d.h. o.B.d.A. $\left|AC\right|<\left|BC\right|$
(5) $\mathrm{\exists }D:D\in B{C}^{+}\wedge \left|DB\right|=\left|AC\right|$	Axiom vom Lineal, Abstandsaxiom, (4)
(6) C im inneren von $\mathrm{\angle }ADC$	Winkeladditonsaxiom (5)
(7) $\mathrm{\exists }\mathrm{\angle }DAC:|\mathrm{\angle }DAC|\ne 0$	(4),(5),(6)
(8) $|\mathrm{\angle }DAC|+|\mathrm{\angle }CAB|=|\mathrm{\angle }DAB|$	(5),(6),(7) Winkeladditonsaxiom
(9) $\mathrm{\angle }ADB\widetilde{=}\mathrm{\angle }ABC$	Basiswinkelsatz (5)
(10)$\mathrm{\angle }ABC\tilde{\ne }\mathrm{\angle }BAC$ Wiederspruch zur Vorr., Annahme verwerfen, Behaupt stimmt	(9),(8),(7),(5)

--RicRic 13:04, 3. Jan. 2012 (CET)