Köln-Triangle

Die oberen 20 Stockwerke und die Aussichtsplattform des K?ölnTriangles haben als Grundriss ein Reuleaux Dreieck: Es sei $\overline{ABC}$ ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenl?änge s. Unter $k_A$; $k_B$ und $k_C$ wollen wir die Kreise mit den Mittelpunkten $A;B$ und$C$ und dem Radius $s$ verstehen. Das Reuleaux Dreiecks mit den Eckpunkten $A;B;C$ ist die Vereinigungsmenge der drei Kreisb?ogen $c$; $b$ und $a$, wobei $c$ der k?ürzere Bögen des Kreises $k_C$ zwischen den Punkten $A$ und $B$ ist. Analog sind die B?ögen $b$ und $a$ auf den Kreisen $k_B$ bzw. $k_A$ zu verstehen.

Die Dom-Brauerei m?ochte eine neue K?ölschsorte kreieren. Die beauftagte Werbefirma macht den Vorschlag, das neue Bier Triangle-K?ölsch zu nennen und das ?äußere Design des neuen Biers mit dem K?ölnTriangle zu verbinden.

a)Die Werbefachleute stellen sich vor, dass der auf Abbildung 1 (Wikipedia) sichtbare Teil des K?olnTriangles eine Dose in Form eines Reuleaux-Dreieck-Zylinders ist. Welche Menge Triangle-K?olsch w?urden in diese Dose passen? Die L?ange bs der Kreisb?ogen des Releaux Dreiecks und die H?ohe h dieser Dose k?onnte man absch?atzen. Entwickeln Sie eine Formel zur Berechnung des Volumens eines Reuleaux-Dreiecks-Zylinders, in die nur bs und h als zu messende bzw. abzusch ?atzende Gr?o�en eingehen. Sch?atzen Sie bs und h auf der Grundlage von Abbildung 1 und berechnen Sie das Volumen des entsprechenden Reuleaux-Dreiecks-Zylinders in Hektolitern.

b) K?olsch wird ?ublicherweise in Mengen von 0,2 Litern verabreicht. Das neue Bier soll in Dosen verkauft werden, die dem Reuleaux-Dreieck-Zylinder aus Aufgabe a) (mathematisch) ?ahnlich sind. Gehen Sie davon aus, dass das von Ihnen berechnete Volumen in Hektolitern aus Aufgabe a) korrekt ist und berechnen Sie auf dieser Grundlage die Ma�e der entsprechenden 0,2 Liter Dose.

Verständnisfrage: Die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks und die Höhe des gleichseitigen Dreiecks können aber aus den zu messenden bzw. abzuschätzenden Angaben errechnet werden und zur Volumenberechnung genutzt werden oder? --Libertad 18:50, 3. Jan. 2012 (CET)

Kann jemand mal seine Idee hier einstellen, ich komm mit der Volumenberechnung einfach nicht weiter. Danke!--Löwenzahn 18:06, 21. Jan. 2012 (CET)

Hallo Löwenzahn! Hier meine Lösung - wäre super, wenn du die Lösungsidee kommentierten könntest, da ich sie bisher noch nicht mit anderen Lösungswegen verglichen habe.

a)
h: Höhe des Turms: ~70m (Stützpunktvorstellung: 20 Stockwerke á je 3,5m)
b: Länge Kreisbogen: ~38m (Stützpunktvorstellung: 25 Fenster pro Kriesbogen á je 1,5m)

mathematisches Modell:
V= (3*pi*s²*60/360*h)-(2*s²/4*Wurzel3*h)
Fehlende Größe: Seitenlänge s bzw. Radius s:
b=2*pi*s*alpha/360 --> 38=2*pi*s*60/360 --> s=33,41 [m]
V=(3*pi*33,41²*60/360*70)-(2*33,41²/4* wurzel 3 *70) = 55067,96 m³ was 5.506.796 hl entspricht

b)
Idee: Höhe des Zylinders in Abhängigkeit von s angeben:
h=70m=700dm
s=33,41m=334,1dm
h=700/334,1 * s
in Formel einsetzen (V=0,2 dm³): 0,2 = (3*pi*s²*60/360*700/334,1*s)-(2*s²/4* Wurzel 3*7000/3341*s)
--> s=0,513 [dm]
--> h=1,075dm=10,7cm , s=5,13cm , b=5,37cm

--Libertad 19:08, 22. Jan. 2012 (CET)

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