Lösung von Aufg. 13.2 (WS 11/12)

Beweisen Sie: Wenn $P$ ein Punkt außerhalb der Geraden $g$ ist, dann gibt es eine Gerade $h$, die durch $P$ geht und parellel zu $g$ ist.

Kann man, um diese Implikation zu beweisen, das Parallelnaxiom verwenden?

• Mann kann es in der absoluten Geometrie beweisen. D.h. ohne Parallelaxiom. --RicRic 07:53, 23. Jan. 2012 (CET

Vor: P, g, P $\in ̸$ g
Beh: P $\in$ h $\wedge$ $h\Vert |g$

Beweisschritt	Begründung
1) $\mathrm{\exists }$ R, L : R,L $\in$ g	Axiom I.2
2) $\mathrm{\exists }$ l: P, L $\in$ l $\wedge$ $l\perp g$ $\wedge$ $l\cap g$ = {L}	Ex. und Eind. Lot, (1)
3) $\mathrm{\exists }$ Q: Q $\in$ gP+ $\wedge$ $Q\ne P$	Definition Halbebene
4) $\mathrm{\exists }$ PA+: $\mathrm{\angle }APL$ = 90 $\wedge$ PA+ Teilmenge von lQ+	Axiom IV.2, (2), (3)
5) $\mathrm{\angle }APL$ $\widetilde{=}$ $\mathrm{\angle }RLP$	(2), (4)
6) $h\Vert |g$	(5), Umkehrung Wechselwinkelsatz
q.e.d.

--Adores 01:36, 24. Jan. 2012 (CET)