Zentrische Streckungen (2011/12)

Zentrische Streckungen

Begriff der zentrischen Streckung

Definition II.07: (zentrische Streckung)

Es sei $Z$ ein beliebig aber fest gewählter Punkt der Ebene $\epsilon$. Ferner sei Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle k \in \mathbb{R} \setminus\left{ 0 \right}} . Unter der zentrischen Streckung $Z{S}_{Z,k}$mit dem Streckzentrum $Z$ und dem Streckfaktor $k$ versteht man eine Abbildung von $\epsilon$ auf sich mit $\mathrm{\forall }P\in \epsilon :Z{S}_{Z,k}(P)=Z+k\overrightarrow{ZP}$.

Experimentieren Sie mit verschiedenen Werten von $k$ und verschiedenen Positionen von $P$ (Strg + f löscht die Spur):

Eigenschaften zentrischer Streckungen

Satz II.08

Eine zentrische Streckung $Z{S}_{Z,k}$ ist genau dann die Identität, wenn $k=1$ gilt.

Beweis von Satz II.08

trivial, entsprechend der Definition II.07

Satz II.09

Es seien $A,B,C$ drei Punkte und $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ deren Bilder bei der zentrischen Streckung $Z{S}_{Z,k}$. Wenn $\mathrm{koll}(A,B,C)$, dann $\mathrm{koll}(A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime })$.

Beweis von Satz II.09

Übungsaufgabe

Hinweise:

(I) $\mathrm{koll}(A,B,C)\iff \mathrm{Zw}(A,B,C)\vee \mathrm{Zw}(B,A,C)\mathrm{Zw}(A,B,C)\vee \mathrm{Zw}(A,C,B)$

(II)