Lösung von Aufgabe 3.5 S (SoSe 12)

Aufgabe 3.5

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: $a\Vert |b\wedge b\Vert |c\Rightarrow a\Vert |c$ .
b) Welche Eigenschaft der Relation $\Vert |$ auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?

Lösungsvorschlag 1

a)
Voraussetzung: a,b,c sind paarweise verschiedene Geraden

Behauptung: $a\Vert |c$

Annahme: $\mathrm{\exists }P:P\in a\wedge P\in b$

Beweis: (1) $a\Vert |b$ Voraussetzung
(2) $b\Vert |c$ Voraussetzung
(3) $P\in a$ Annahme (Parallelenaxiom Schnittpunkt mit a)
(4) $P\in c$ Annahme (Parallelenaxiom Schnittpunkt mit c)
(5) $P\in a\wedge P\in c$ (3),(4)
(6) $a=c$ (5) Widerspruch zur Voraussetzung
--Goliath 17:03, 3. Mai 2012 (CEST)