Abstand und Anordnung (Vorlesung 15.05.2012)

Der Abstand zweier Punkte

Die ersten beiden Abstandsaxiome

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

Zu je zwei Punkten $A$ und $B$ gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl $d$ mit $d=0:⟺A=B$.

Definition II.1: (Abstand)

Der Abstand zweier Punkte $A$ und $B$ ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten $A$ und $B$ zugeordnet werden kann.
Schreibweise: $d=\left|AB\right|$.

Axiom II.2:

Für zwei beliebige Punkte $A$ und $B$ gilt $\left|AB\right|=\left|BA\right|$.

Aufgabe

Konstruieren Sie jeweils die drei Punkte $A,B$ und $C$ für die gilt:

a) $\left|AB\right|$ = 4, $\left|BC\right|$ = 3, $\left|AC\right|$ = 5

b) $\left|AB\right|$ = 2, $\left|BC\right|$ = 3, $\left|AC\right|$ = 5

c) $\left|AB\right|$ = 1, $\left|BC\right|$ = 2, $\left|AC\right|$ = 5

Das Axiom der Dreiecksungleichung

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)

Für drei beliebige Punkte $A,B$ und $C$ gilt: $\left|AB\right|+\left|BC\right|\ge \left|AC\right|.$

Falls $\mathrm{koll}\left(ABC\right)$, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

$\left|AB\right|+\left|BC\right|=\left|AC\right|$

$\left|AC\right|+\left|CB\right|=\left|AB\right|$

$\left|BA\right|+\left|AC\right|=\left|BC\right|$

Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind $A$, $B$ und $C$ kollinear.