Lösung von Zusatzaufgabe 6.1 S (SoSe 12)

Zusatzaufgabe 6.1

Es sei $g$ eine Gerade und $P$ ein Punkt, der nicht zu $g$ gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene $\epsilon$, die sowohl alle Punkte von $g$ als auch den Punkt $P$ enthält.

Lösungsvorschlag von Quadratisch , Praktisch, Gut

Voraussetzung: Gerade g, Punkt P, P nicht Element von g
Behauptung: Es existiert eine Ebene, die sowohl g als auch P enthält.

Schritt	Warum darf ich den Schritt machen?
(1)Es existiert X,Y.X,Y Element g	I.2
(2)nkoll(X,Y,P)	(1), Vor.
(3)Es existiert eine Ebene.X,Y,P Element der Ebene	(2), I.4

Durch Axiom I.4 wären Existenz (Zu drei nicht kollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene...) und Eindeutigkeit (... genau eine Ebene...) bewiesen.
--RitterSport 20:02, 4. Jun. 2012 (CEST)

Bemerkungen M.G.

Der Beweis ist soweit korrekt aber noch nicht ganz vollständig. Das Axiom I/4 sichert uns nur, dass Ihre Punkte $X,Y,Z$ in der Ebene $\epsilon$ liegen. Wir sollen aber zeigen, dass alle Punkte der Geraden $g$ in $\epsilon$ liegen.