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Halbebenen und das Axiom von Pasch

Halbebenen

Analogiebetrachtungen

Halbgeraden	Halbebenen

Objekt $G$, das in Klassen eingeteilt wird
$G$ ist eine ...	$G$ ist eine ...
Dimension von $G$
Dimension von	Dimension von
Objekt $T$, das $G$ in Klassen einteilt
$T$ ist ...	$T$ ist ...
Dimension von $T$
$T$ hat die Dimension ...	$T$ hat die Dimension ...
Referenzpunkt $Q$ teilt $G{\setminus }_{\{Q\}}$ in genau zwei Klassen
Klasse 1: Menge aller Punkte $P\mathrm{\in }G$ , die mit $Q$ bezüglich $T$ „auf derselben Seite liegen“
$A{Q}^{+}=\{P|...\}$	$g{Q}^{+}=\{P|...\}$
Klasse 2: Menge aller Punkte $P\mathrm{\in }G$, die bezüglich $T$ nicht auf der Seite von $Q$liegen.
$A{Q}^{-}=\{P|...\}$	$g{Q}^{-}=\{P|...\}$

Definition des Begriffs der Halbebene

Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen

Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene $\mathrm{E}$ gehört u.a., dass jede Gerade $g$, die zu unserer jeweiligen Ebene $\mathrm{E}$ gehört, diese in zwei Hälften bzw. zwei Seiten einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden Seiten von $\mathrm{E}$ bezüglich der Geraden $g$ verwenden wir einen Punkt $Q\in \mathrm{E}$, welcher nicht zu $g$ gehören sollte.
Zu der einen Hälfte von $\mathrm{E}$ bezüglich $g$ gehören alle die Punkte aus $\mathrm{E}\setminus g$, die mit $Q$ auf derselben Seite von $g$ liegen. Alle anderen Punkte aus $\mathrm{E}\setminus g$ gehören zur anderen Seite von $\mathrm{E}$ bezüglich $g$.

offene Halbebenen

Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene $\mathrm{E}$, die nicht auf einer Geraden $g$ dieser Ebene liegen, durch diese Gerade $g$ eingeteilt werden, heißen offene Halbebenen von $\mathrm{E}$ bezüglich der Trägergeraden $g$. Der nicht zu $g$ gehörende Referenzpunkt $Q\in \mathrm{E}$ bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich $g$ mit $Q$ auf derselben seite liegen wird mit $g{Q}^{+}$ bezeichnet, die andere offene Halbebene von $\mathrm{E}$ bezüglich $g$ und $Q$ mit $g{Q}^{-}$.