Übung 7

Aufgabe 7.1

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke $\overline{AB}$ existiert genau eine Strecke $\overline{A{B}^{*}}$ mit $\left|A{B}^{*}\right|=\pi \left|AB\right|$ und $\overline{AB}\subset \overline{A{B}^{*}}$.

Aufgabe 7.2

Beweisen Sie: Zu jeder Strecke $\overline{AB}$ existiert genau eine Strecke $\overline{A{B}^{*}}$ mit $\left|A{B}^{*}\right|=\frac{1}{\pi }\left|AB\right|$ und $\overline{A{B}^{*}}\subset \overline{AB}$.

Aufgabe 7.3

Der Punkt $B$ möge die Strecke $\overline{AC}$ derart in die Teilstrecken $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ teilen, dass $\left|AB\right|>\left|BC\right|$ gilt. Beweisen Sie:
Wenn $\frac{\left|AC\right|}{\left|AB\right|}=\frac{\left|AB\right|}{\left|BC\right|}$, dann $\frac{\left|AC\right|}{\left|AB\right|}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Aufgabe 7.4 (*)

Was hat Aufgabe 7.3 hiermit zu tun?

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Aufgabe 7.5

Definieren noch einmal die Begriffe Halbgerade $A{Q}^{+}$ und $A{Q}^{-}$. In diesen neuen Definitionen dürfen Sie die Zwischenrelation nicht explizit verwenden. Beweisen Sie dann, dass Ihre neuen Definitionen zur | Definition II.3 äquivalent sind.