Basiswinkelsatz und Mittelsenkrechtenkriterium (SoSe 12)

Der Basiswinkelsatz Gleichschenklige Dreiecke Definition VII.4 : (gleichschenkliges Dreieck) Das können sie selbst. Bringen Sie in der Definition die Begriffe Basis, Basiswinkel und Schenkel eines gleichschenkligen Dreiecks unter. Übungsaufgabe Der Basiswinkelsatz Satz VII.5: Basiswinkelsatz In jedem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. Der folgende Beweis ist für die Schule ok. hier jedoch nicht zugelassen Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. o.B.d.A. seien die Seiten $a$ und $b$ kongruent zueinander: Nach der Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke existiert der Mittelpunkt $M$ der Dreiecksseite $c$. Wir werden jetzt zeigen, dass die beiden Teildreiecke $\overline{AMC}$ und $\overline{BMC}$ kongruent zueinander sind: Nachweis von $\overline{AMC}\widetilde{=}\overline{BMC}$: Nr. Skizze Beweisschritt Begründung (1) $a\widetilde{=}b$ Voraussetzung (2) $\overline{AM}\widetilde{=}\overline{MB}$ $M$ ist Mittelpunkt von $c$ (3) $\overline{MC}\widetilde{=}\overline{MC}$ trivial (oder Reflexivität der Kongruenzrelation) (4) $\overline{AMC}\widetilde{=}\overline{BMC}$ (1), (2), (3), SSS Wegen (4) gilt nun auch $\alpha \widetilde{=}\beta$. w.z.b.w. Ein schöner einfacher Beweis, leider hat er hier keine Gültigkeit. Warum? Ein im Rahmen unserer Theorie korrekter Beweis des Basiswinkelsatzes Probieren Sie ruhig weitere Varianten: Mittelsenkrechte ... . Letztlich hilft nur die Winkelhalbierende. Damit wir uns auf die wesentliche Beweisidee des Basiwinkelsatzes konzentrieren können, schicken wir ein Lemma voraus. Lemma 1 Die Winkelhalbierende $S{W}^{+}$ eines Winkels $\mathrm{\angle }ASB$ schneidet die Strecke $\overline{AB}$ in genau einem Punkt $P$. Beweis von Lemma 1 später (Wir haben wichtigeres zu tun.) googeln Sie: "Geschichten aus dem Inneren Gieding" und Sie werden fündig. Beweis des Basiswinkelsatzes Das Mittelsenkrechtenkriterium Satz VII.6: (Mittelsenkrechtenkriterium) Ein Punkt $P$ gehört genau dann zur Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$, wenn $\overline{AP}\widetilde{=}\overline{BP}$ gilt. Bezug zur Schule: Konstruktion der Mittelsenkrechten einer Strecke $\overline{AB}$ mittels Zirkel und Lineal: Konstruktionsvorschrift: gegeben: Strecke $\overline{AB}$ gesucht: $m$ , die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$ Schrittnr. Konstruktionsschritt 1. Zeichne einen Kreis um $A$, dessen Radius $r$ länger als die Hälfte der Länge der Strecke $\overline{AB}$ ist. 2. Behalte $r$ bei und zeichne einen Kreis um $B$. 3. Der Kreis um $A$ schneidet den Kreis um $B$ in den beiden Schnittpunkten $S_1$ und $S_2$. 4. Zeichne die Gerade $S_1{S}_2$. Sie ist die gesuchte Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$. Frage: Ist dieser Algorithmus korrekt? Anders gefragt: Ist $S_1{S}_2$ wirklich die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$? Wir beweisen die Korrektheit der Konstruktion indem wir folgendes zeigen: Satz VII.6 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$gehört.) Wenn ein Punkt $P$ zu den Endpunkten der Strecke $\overline{AB}$ jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$. Beweis von Satz VII.6 a Übungsaufgabe (Das Video hilft) Video laden YouTube YouTube sammelt möglicherweise persönliche Daten. Datenschutzrichtlinie Fortfahren Ausblenden Nach dem Beweis von Satz VII.6 a wissen wir, dass die beiden Punkte $S_1$ und $S_2$ Punkte der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ sind. Die Wahl des Radius $r$ der beiden Kreise in unserer Konstruktion war beliebig für $|r|>\frac{1}{2}|\overline{AB}|$. Wir stellen uns jetzt die frage, ob wir jeden beliebigen Punkt unserer Mittelsenkrechten als Schnittpunkt zweier entsprechender Kreise konstruieren könnten. Die Frage anders formuliert: Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ zu den Punkten $A$ und $B$ jeweils ein und denselben Abstand? Noch anders formuliert: Hat jeder Punkt der Mittelsenkrechten einer Strecke $\overline{AB}$ notwendigerweise zu $A$ und zu $B$ ein und denselben Abstand? Der folgende Satz VII.6 b beantwortet diese beiden Fragen postiv: Satz VII.6 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ gehört) Wenn ein Punkt $P$ zur Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$ gehört, dann hat er zu den Punkten $A$ und $B$ ein und denselben Abstand. Bemerkung zu der Idee der notwendigen Bedingung: Wir wissen, eine Implikation aus a folgt b bedeutet, dass a eine hinreichende Bedingung für b ist. Warum kennzeichnet eine Implikation jetzt auf einmal eine notwendige Bedingung? Natürlich kennzeichnet die Implikation VII. 6 b auch eine hinreichende Bedingung. Dafür dass ein Punkt $P$ zu zwei verschiedenen Punkten $A$ und $B$ ein und denselben Abstand hat ist es hinreichend, dass $P$ auf der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$ liegt. Zur Implikation VII.6 b äquivalent ist deren Kontraposition: Wenn ein Punkt $P$ zu den Punkten $A$ und $B$ nicht ein und denselben Abstand hat, dann ist er auch nicht ein Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$. Beweis: Übungsaufgabe