Lösung von Aufgabe 6.2

Das Axiom I.7 sagt aus:

Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

Es sei $\mathrm{E}$ eine beliebige Ebene und $A,B,C,D$ die vier Punkte entsprechend Axiom I.7. Klassifizieren Sie alle Fälle die bezüglich der Inzidenz der Punkte $A,B,C,D$ mit $\mathrm{E}$ auftreten können.

Vorraussetzung: Die Punkte sind nicht kollinear. Wenn mehr als zwei Punkte kollinear sind (zB. $A,B,C$$\in$ Gerade g), dann sind diese Punkte und der verbleibende nichtkollineare Punkt (im Bsp. D) Elemente der Ebene $\mathrm{E}$. Begründung: Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)

       Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.

Axiom I/4

       Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. (...)

Der Fall, dass alle vier Punkte kollinear sind (also $A,B,C,D$ $\in$ Gerade g) ist dann trivial, da durch Definition I/4 abgedeckt.

Fall	Bsp/Ausprägung	Zusatz	nKomp
DREI Punkte liegen in $\mathrm{E}$ (sind Elemente von...)	$A,B,C$ $\in \mathrm{E}$	mögliche Tripel: $\mathrm{E}$1(A,B,C) $\mathrm{E}$2(A,B,D) $\mathrm{E}$3(A,C,D) $\mathrm{E}$4 (B,C,D)	$\mathrm{E}$1(D) $\mathrm{E}$2(C) $\mathrm{E}$3(B) $\mathrm{E}$4 (A)
VIER Punkte sind komplanar	$A,B,C,D$ $\in \mathrm{E}$	alle Punkte liegen "auf" / "in" Ebene $\mathrm{E}$	keine Punkt nKomp

Mehr Fälle gibt es nach der Vorraussetzung nicht, oder?