Winkel und Winkelmessung

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Winkel und Winkelmessung

Begriff des Winkels

Identifizieren von Winkeln

Repräsentanten und Gegenrepräsentanten

In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt
Punktmenge 1 Punktmenge 2 Punktmenge 3 Punktmenge 4
Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt
Punktmenge 5 Punktmenge 6 Punktmenge 7 Punktmenge 8

Tabelle 1

Winkelmodell kein Winkelmodell
Tragen Sie die Nummern der entsprechenden obigen Punktmengen ein.
Begründen Sie für jede Nummer Ihre Wahl. 		Tragen Sie die Nummern der entsprechenden obigen Punktmengen ein.
Begründen Sie für jede Nummer Ihre Wahl.

Prozeß der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung

In der Didaktik bezeichnen wir die Art und Weise der Erarbeitung eines neuen Begriffs entsprechend obiger Tabelle als induktive Begriffserarbeitung: Eine gewisse Menge an Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des zu erarbeitenden Begriffs wird vorgegeben. Dann teilt man diese Menge in genau zwei Klassen ein. Die eine Klasse bilden alle Begriffsrepräsentanten, die ander Menge der Rest.

Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.

Zum besseren Verständnis: Analoge Erarbeitung des Begriffs Trapez:

Realisieren von Winkeln

Die Idee des konstruktiven Begriffserwerbs

Während beim induktiven Begriffserwerb das Ausgangsmaterial für den Schüler bereits vorgefertigt wurde, generiert er es sich beim konstruktiven Begriffserwerb selbst. Der gute Lehrer läßt in der Regel beide Varianten zur Anwendung kommen.

Konstruktion eines Winkels

Aufgabe: Zeichne einen Winkel

Lösung:

Konstruktionsschritt Beschreibung
Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt Zeichne einen ...
Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt Zeichne einen zweiten ..., der

Definition des Winkelbegriffs

Definition V.1: (Winkel)
Ein Winkel ist ein Paar .... .
... heißt der Scheitelpunkt von ...
... sind die Schenkel von ...

Arten, Winkel zu beschreiben

Beispiel Beschreibung in Zeichen Quelltext in Tex
Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt Winkel, der aus den beiden Strahlen $ \ p $ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ q besteht. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle pq \angle pq
Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt Winkel, der aus den beiden Strahlen Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ SA^+ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ SB^+ besteht. Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle ASB \angle ASB

Die Idee des gerichteten Winkels

Gerichtete Winkel werden in der Einführung in die Geometrie keine Rolle spielen. Trotzdem dürfen Sie hier ergänzen, was denn ein gerichtetet Winkel wäre.

Das Innere eines Winkels

So ist es zu verstehen

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt

Flashapplikation

Definition des Inneren eines Winkels

Definition V.2: (Inneres eines Winkels)
Das Innere eines Winkels Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle ASB ist der Schnitt ...
Satz V.1
Das Innere eines Winkels ist konvex.
Beweis von satz V.1
trivial entsprechend Satz IV., Satz IV.3 und der Definition V.2

Überstumpfe Winkel?

Bemerkung: Entsprechend Definition V.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.

Scheitelwinkel und Nebenwinkel

Scheitelwinkel

Beispiele und Gegenbeispiele

Definition

Definition V.3: (Scheitelwinkel)
Die Winkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle SA^+,SB^+ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle SA^-,SB^- sind Nebenwinkel.

Nebenwinkel

Beispiele und Gegenbeispiele

Definition

Definition V.4: (Nebenwinkel)
Die Winkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle SA^+,SB^+ und Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \angle SA^-,SB^+ sind Nebenwinkel.

Winkelmessung

Das Winkelmaß

Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen?

Länge einer Strecke Größe eines Winkels
nichtnegative reelle Zahl reelle Zahl zwischen 0 und 180

Das Winkelmaßaxiom

Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom)
Zu jedem Winkel $ \ \alpha $ gibt es genau eine reelle Zahl Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \omega zwischen 0 und 180.
Definition V.4: (Größe eines Winkels)
Die Zahl Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \omega , die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \alpha eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \alpha genannt.
In Zeichen: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega = \left| \alpha \right| .

Winkelkonstruktion

Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens

Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)
Es sei Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g \equiv SA eine Gerade in der Ebene Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \Epsilon . Zu jedem Winkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \alpha gibt es in jeder der beiden durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ g bestimmten Halbebenen der Ebene $ \ \mathrm {E} $ genau einen Strahl Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ SB^+ mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \left| \alpha \right| = \left| \angle ASB \right|

Winkeladdition

Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)
Wenn der Punkt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ P zum Inneren des Winkels Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \angle ASB gehört, dann gilt Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right| .

Rechte Winkel

Definition V.5 : (Rechter Winkel)
Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.
Definition V.6 : (Supplementärwinkel)
Zwei Winkel, deren Größen zusammen 180 ergeben, sind supplementär.
Axiom IV.4: (Supplementaxiom)
Nebenwinkel sind supplementär.
Satz V. : (Existenz von rechten Winkeln)
Es gibt rechte Winkel.


Beweis von Satz V.2
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