Fixpunkt, Fixpunktgerade, Fixgerade (2012 13)

Fixpunkte

Beispiele/Gegenbeispiele

In welchen Fällen handelt es sich um Fixpunkte bezüglich der genannten Abbildung?

	(a) Punkt $ \ A $ auf der Geraden $ \ g $ bezüglich der Spiegelung an $ \ g $.
	(b) Punkt $ \ A $ auf der Geraden $ \ g $ bezüglich einer Verschiebung längs $ \ g $.
	(c) Punkt $ \ Z $ bezüglich einer Drehung mit dem Drehwinkel $ \alpha =30^{\circ } $ um $ \ Z $.
	(d) Punkt $ \ Z $ bezüglich einer Drehung mit dem Drehwinkel $ \alpha =360^{\circ } $ um $ \ Z $.
	(e) Punkt $ A\notin g $ bezüglich der Spiegelung an $ \ g $.
	(f) Jeder Punkt $ \ Q $ bezüglich der Identität.
	(g) Jeder Punkt $ \ D $ bezüglich einer zentrischen Streckung an dem Punkt $ \ Z $.
	(h) Der Punkt $ \ D $ bezüglich einer zentrischen Streckung an sich selbst.
	(i) Jeder Punkt der Ebene $ \ \delta $ bezüglich einer senkrechten Parallelprojektion auf die Ebene $ \ \delta $.
	(j) Der Zentralpunkt $ \ Z $ einer Zentralprojektion.

Definition des Begriffs Fixpunkt einer Abbildung

Definition 3.1: (Fixpunkt einer Abbildung $ \ \varphi $ )

Ein Punkt $ \ F $ heißt Fixpunkt einer Abbildung $ \ \varphi $, wenn $ \varphi $ $ F $ auf sich selbst abbildet.

Richtig verstanden?

Kennzeichnen Sie die wahren Aussagen

	(a) Es sei $ \ Z $ der Schnittpunkt der Geraden $ \ h $ und $ \ g $. $ \ Z $ ist Fixpunkt bezüglich $ \ S_{h} $.
	(b) Es sei $ \ Z $ der Schnittpunkt der Geraden $ \ h $ und $ \ g $. $ \ Z $ ist Fixpunkt bezüglich $ \ S_{g} $.
	(c) Es sei $ \ Z $ der Schnittpunkt der Geraden $ \ h $ und $ \ g $. $ \ Z $ ist Fixpunkt bezüglich $ \ S_{h}\circ S_{g} $.
	(d) Es sei $ \ Z $ der Schnittpunkt der Geraden $ \ h $ und $ \ g $. $ \ Z $ ist Fixpunkt bezüglich $ \ S_{g}\circ S_{h} $.
	(e) Jede von der Identität verschiedene Drehung hat genau einen Fixpunkt.
	(f) Es gibt fixpunktfreie Geradenspiegelungen.
	(g) Es gibt fixpunktfreie Verschiebungen.
	(h) Ihr Beispiel ... .

Fixgeraden

Beispiele/Gegenbeispiele

In welchen Fällen handelt es sich um Fixgeraden bezüglich der genannten Abbildung?

	(a) Gerade durch das Streckzentrum einer zentrischen Streckung. (bezüglich dieser zentrischen Streckung)
	(b) Gerade durch das Streckzentrum einer zentrischen Streckung. (bezüglich dieser zentrischen Streckung, Streckfaktor 1)
	(c) Gerade durch das Drehzentrum einer Drehung mit dem Drehwinkel 35°. (bezüglich dieser Drehung)
	(d) Gerade durch Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ Z bezüglich einer Drehung mit dem Drehwinkel Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha = 360^\circ um Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ Z .
	(e) Gerade die nicht parallel zur Verschiebungsrichtung einer von der Identität verschiedenen Verschiebung ist. (bzgl. dieser Verschiebung)

Definition

Definition 3.2: (Fixgerade einer Abbildung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \varphi )

Eine Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ f heißt Fixgerade einer Abbildung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \varphi , wenn Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ f auf sich selbst abbildet.

Fixpunktgeraden

Definition

Definition 3.3: (Fixpunktgerade einer Abbildung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ \varphi )

Eine Gerade Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \ f heißt Fixpunktgerade einer Abbildung $ \ \varphi $, wenn ... (ergänzen Sie selbst).

Richtig verstanden?

Kennzeichnen Sie die wahren Aussagen

	(a) Manche Fixpunktgeraden einer Abbildung sind Fixgeraden derselben Abbildung.
	(b) Jede Fixpunktgerade einer Abbildung ist eine Fixgerade dieser Abbildung.
	(c) Jede Fixgerade einer Abbildung ist eine Fixpunktgerade dieser Abbildung.
	(d) g sei Fixpunktgerade der Bewegung Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi , dann gilt: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \forall P \in g . P = \phi (P) - (e) weitere Beispiele ... .

und wieder Diskussion