Vektorräume 2012 13

Definition des Begriff des Vektorraums

Eine nicht leere Menge V zusammen mit einer inneren Verknüpfung

$ +:V\times V\to V $, $ (v,v)\mapsto v+v $

und der äußeren Verknüpfung

$ {\cdot }:\mathbb {R} \times V\to V $, $ (\lambda ,v)\mapsto \lambda \cdot v $

heißt reeler Verktorraum, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:

A1: Für beliebige $ u,v\in V $ gilt $ u+v=v+u $ (Kommuntativität der Addition).

A2: Für beliebige $ u,v.w\in V $ gilt $ (u+v)+w=u+(v+w) $. (Assoziativität der Addition)

A3: Es gibt ein neutrales Element $ e\in V $, mit dem für alle Elemente $ u\in V $ gilt: $ u\cdot e=e\cdot u=u $. (Existenz eines neutralen Elements/Nullvektor)

A4: Zu jeden $ u\in V $ existiert ein Gegenvektor $ -u\in V $ mit$ u+(-u)=e $

S1: Für beliebige $ v\in V $ gilt $ 1\cdot u=u $.

S2: Für beliebige $ v\in V $ und beliebige $ \lambda ,\mu \in \mathbb {R} $ gilt: $ (\lambda \cdot \mu )\cdot u=\lambda \cdot (\mu \cdot u) $ (Assoziativität der Multiplikation von Vektoren mit reelen Zahlen)

S3: Für beliebige math>u,v \in V</math> und beliebige $ \lambda \in \mathbb {R} $ gilt: $ \lambda \cdot (u+v)=\lambda \cdot u+\lambda \cdot v $ (1.Distributivgesetz)

S4: Für beliebige $ v\in V $ und beliebige $ \lambda ,\mu \in \mathbb {R} $ gilt: $ (\lambda +\mu )\cdot u=\lambda \cdot u+\mu \cdot u $ (2.Distributivgesetz)

Bemerkung:

Die Eigenschaften A1-A4 lassen sich zusammenfassen, dass $ (V,+) $ eine Abelsche Gruppe bildet.

(Quelle: Filler: Elementare Lineare Algebra. Spektrum Akademischer Verlag)