Gruppen, abelsche Gruppen 2012 12

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Beispiele für endliche Gruppen

Restklassen modulo 4

ℤ4:={0‾,1‾,2‾,3‾}
mit
0‾:={...,−8,−4,0,4,8,...} (Menge aller durch 4 teilbaren ganzen Zahlen),
1‾:={...,−7,−3,1,5,9,...} (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 1 lassen),
2‾:={...,−6,−2,2,6,10,...} (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 2 lassen),
3‾:={...,−5,−1,3,7,11,...} (Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 3 lassen),

Wir definieren auf ℤ4 eine Verknüpfung ⊕ wie folgt:
∀a‾,b‾∈ℤ4:a‾⊕b‾:=a+b‾

Die Struktur (ℤ4,⊕) ist eine Gruppe:

  1. Die Verknüpfung ⊕ ist auf der Menge ℤ4 abgeschlossen, d.h. ∀a‾,b‾∈ℤ4:a‾⊕b‾∈ℤ4,
  2. Die Verknüpfung ⊕ ist auf der Menge ℤ4 assoziativ, d.h. ∀a‾,b‾,c‾∈ℤ4:(a‾⊕b‾)⊕c‾=a‾⊕(b‾⊕c‾),
  3. ℤ4 hat ein neutrales Element, nämlich die Klasse 0‾, d.h. ∀a‾∈ℤ4:a‾⊕0‾=0‾⊕a‾=a‾,
  4. Zu jedem Element aus ℤ4 gibt es ein inverses Element, d.h. ∀a‾∈ℤ4∃(−a‾):a‾⊕(−a‾)=(−a‾)⊕a‾=0‾.

Die folgende Verknüpfungstafel verdeutlicht die obigen Eigenschaften:

GeoGebra



Die Tabelle wurde mit der Tabellenkalkulation von Geogebra generiert. Aus diesem Grunde fehlen die Querstriche über den Klassen.

Die Verknüpfungstabelle zeigt eine weitere Eigenschaft der Gruppe (ℤ4,⊕):
Die Ergebnisse in der Tabelle sind symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen angeordnet. Letzteres bedeutet, dass die Verknüpfung ⊕ auf ℤ4 kommutativ ist:

  • ∀a‾,b‾∈ℤ4:a‾⊕b‾=b‾⊕a‾.

Kommutative Gruppen werden auch Abelsche Gruppen genannt.

Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks

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